Exerciții rezolvate cu matematică financiară — clasa a 10-a

$\dfrac{15}{100} \cdot 200 = 30$.

$\dfrac{100 - 80}{80} \cdot 100\% = \dfrac{20}{80} \cdot 100\% = 25\%$.

$A = 2000 \cdot 1.05^2 = 2000 \cdot 1.1025 = 2{,}205$.

Reducere $= 20$. Preț redus $= 80 - 20 = 60$.

$200 \cdot 1.19 = 238$.

$\dfrac{72}{7} \approx 10{,}3$ ani.

După ambele mișcări, valoarea este $0.8 \cdot 1.2 = 0.96$ — o pierdere netă de $4\%$.

$\!\left(1 + \dfrac{0.12}{12}\right)^{12} - 1 = 1.01^{12} - 1 \approx 1.1268 - 1 = 0.1268 \approx 12.68\%$.

$$C(1+pt) = 5200 \implies 4000(1+0{,}06t) = 5200 \implies 1+0{,}06t = 1{,}3 \implies 0{,}06t = 0{,}3 \implies t=5.$$ Verificare: $4000\cdot(1+0{,}06\cdot5)=4000\cdot1{,}3=5200$. ✓

Varianta 1 (dobândă simplă): $S_1 = C(1+rt) = 10000\cdot(1+0{,}1\cdot3) = 10000\cdot1{,}3 = 13000$ lei. Varianta 2 (dobândă compusă): $S_2 = C(1+r)^t = 10000\cdot1{,}1^3 = 10000\cdot1{,}331 = 13310$ lei. Diferența: $$S_2-S_1 = 13310-13000 = 310 \text{ lei}.$$ Verificare: $1{,}1^3=1{,}1\cdot1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21\cdot1{,}1=1{,}331$, deci $S_2=13310$ lei; $S_2-S_1=310$ lei. ✓ (Dobânda compusă depășește dobânda simplă cu cât durata și rata sunt mai mari — aici diferența e $310$ lei, nu $331$ lei, care ar fi doar dobânda compusă din ultimul an aplicată greșit ca diferență totală.)

Suma unică (depusă azi, capitalizează $3$ ani întregi): $$1000\cdot1{,}1^3 = 1000\cdot1{,}331 = 1331 \text{ lei}.$$ Anuitatea (cele $3$ depuneri anuale de $1000$ lei, aceeași formulă ca la problema cu $FV$): $$1000\cdot\frac{1{,}1^3-1}{0{,}1} = 1000\cdot3{,}31 = 3310 \text{ lei}.$$ Suma totală acumulată: $$1331+3310 = 4641 \text{ lei}.$$ Verificare: dacă suma unică ar fi calculată greșit cu dobândă SIMPLĂ ($1000\cdot(1+3\cdot0{,}1)=1300$), totalul ar fi $1300+3310=4610$ lei — un rezultat apropiat, dar incorect, exact capcana din distractorul (b). Calculul corect, cu dobândă compusă pe toată durata, dă $4641$ lei ✓.

Valoarea prezentă totală este suma seriei $$PV = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{P_1(1+g)^{n-1}}{(1+r)^n} = \frac{P_1}{1+r}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1+g}{1+r}\right)^k.$$ Rația seriei geometrice este $q=\dfrac{1+g}{1+r}=\dfrac{1{,}05}{1{,}10}=\dfrac{21}{22}<1$ (deoarece $r>g$), deci seria CONVERGE, cu suma $\dfrac{1}{1-q}$: $$PV = \frac{P_1}{1+r}\cdot\frac{1}{1-\frac{1+g}{1+r}} = \frac{P_1}{(1+r)-(1+g)} = \frac{P_1}{r-g}.$$ Numeric: $$PV = \frac{1000}{0{,}10-0{,}05} = \frac{1000}{0{,}05} = 20000 \text{ lei}.$$ Capcana: intuitiv, plățile cresc la infinit în valoare nominală, deci s-ar putea crede că valoarea prezentă e infinită — fals; discontarea „câștigă" în fața creșterii (deoarece $r>g$), iar suma actualizată e finită și exactă. Verificare (sumă parțială): primii $3$ termeni actualizați sunt $\dfrac{1000}{1{,}1}\approx909{,}09$, $\dfrac{1050}{1{,}21}\approx867{,}77$, $\dfrac{1102{,}5}{1{,}331}\approx828{,}33$ — termeni care descresc constant cu factorul $21/22\approx0{,}9545$ (nu cresc!), consistent cu o serie convergentă către $20000$ lei ✓.