Exerciții rezolvate cu polinoame în ℂ — clasa a 10-a

Gradul este cel mai mare exponent al lui $X$ cu coeficient nenul. Aici este $4$.

$P(2) = 8 - 4 + 5 = 9$.

$P(1) = 1 + 2 - 1 + 5 = 7$.

$\deg(Q) = 3 - 1 = 2$.

Coeficientul dominant este $1$ și coeficientul lui $X^2$ este $-6$, deci $x_1 + x_2 + x_3 = -(-6) = 6$. (Rădăcinile sunt de fapt $1, 2, 3$.)

$x_1 x_2 x_3 = -\dfrac{-4}{2} = 2$.

Cu $Y = X^2$: $Y^2 - 5Y + 4 = 0 \Rightarrow Y \in \{1, 4\}$. Apoi $X^2 = 1 \Rightarrow X = \pm 1$ și $X^2 = 4 \Rightarrow X = \pm 2$. Patru soluții reale.

$P(2) = 8 - 2m + 4 = 12 - 2m = 0 \Rightarrow m = 6$.

Coeficienții lui $P$, incluzând explicit termenul lipsă: $2,\ -1,\ 0,\ 3,\ -4$ (coeficientul lui $X^2$ este $0$). Schema lui Horner cu rădăcina $1$: $$b_0=2$$ $$b_1=-1+2\cdot1=1$$ $$b_2=0+1\cdot1=1$$ $$b_3=3+1\cdot1=4$$ $$\text{rest}=-4+4\cdot1=0$$ Câtul este $Q(X)=2X^3+X^2+X+4$, iar restul este $0$ (deci $(X-1)$ e factor al lui $P$). Coeficientul lui $X$ în cât este $1$. Verificare (împărțire directă): $2X^4-X^3+3X-4=(X-1)(2X^3+X^2+X+4)$ — dezvoltând membrul drept se regăsește exact $P(X)$. ✓

Fie $i$ o rădăcină a lui $X^2+1=0$, deci $i^2=-1$ și $i^4=1$. Reducem exponenții modulo $4$: $41=4\cdot10+1$, deci $i^{41}=i^1=i$. La fel, $22=4\cdot5+2$, deci $i^{22}=i^2=-1$. $$P(i) = i + (-1) + 3 = i+2.$$ Restul $R(X)=aX+b$ (grad $<2$) satisface $R(i)=P(i)$, adică $ai+b=2+i$. Identificând partea reală și cea imaginară: $a=1,\,b=2$. Restul este $R(X)=X+2$. Verificare (pe exponenți mai mici, aceeași metodă): pentru $X^5+X^2+3$ împărțit la $X^2+1$, $5\equiv1$ și $2\equiv2\pmod4$, deci restul prezis e tot $X+2$; împărțirea polinomială directă confirmă exact $X+2$. Aceeași reducere modulo $4$ se aplică identic la exponenții $41$ și $22$. ✓

Prin relațiile lui Viète: $x_1+x_2=m+1$ și $x_1x_2=m-2$. Folosim identitatea $$x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = (m+1)^2-2(m-2) = m^2+2m+1-2m+4 = m^2+5.$$ Condiția $x_1^2+x_2^2=21$ devine: $$m^2+5=21 \implies m^2=16 \implies m=4 \text{ sau } m=-4.$$ Verificare că ambele valori dau rădăcini reale (discriminantul ecuației trebuie să fie $\ge0$): $\Delta=(m+1)^2-4(m-2)=m^2-2m+9$. La $m=4$: $\Delta=16-8+9=17>0$ ✓. La $m=-4$: $\Delta=16+8+9=33>0$ ✓ — ambele valori sunt valide, nu doar una. Suma tuturor valorilor lui $m$: $4+(-4)=0$. Verificare directă: la $m=4$, ecuația e $X^2-5X+2=0$, cu $x_1+x_2=5,\,x_1x_2=2$, deci $x_1^2+x_2^2=25-4=21$ ✓. La $m=-4$, ecuația e $X^2+3X-6=0$, cu $x_1+x_2=-3,\,x_1x_2=-6$, deci $x_1^2+x_2^2=9+12=21$ ✓.

Fie $\omega$ o rădăcină a lui $X^2+X+1=0$; atunci $\omega^3-1=(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0$ și $\omega\neq1$, deci $\omega^3=1$. Reducem exponenții modulo $3$: $2026 = 3\cdot675+1$, deci $\omega^{2026}=\omega^1=\omega$. La fel, $1000=3\cdot333+1$, deci $\omega^{1000}=\omega$. $$P(\omega) = \omega+\omega+1 = 2\omega+1.$$ Restul $R(X)=aX+b$ (grad $<2$) satisface $R(\omega)=P(\omega)$, adică $a\omega+b=2\omega+1$. Cum $\{1,\omega\}$ e o bază peste $\mathbb{Q}$ (polinomul $X^2+X+1$ e ireductibil peste $\mathbb Q$), identificăm coeficienții: $a=2,\,b=1$. Restul este $R(X)=2X+1$. Verificare (pe exponenți mai mici, aceeași metodă): pentru $X^7+X^4+1$ împărțit la $X^2+X+1$, $7\equiv1$ și $4\equiv1\pmod3$, deci restul prezis e tot $2X+1$; împărțirea polinomială directă confirmă exact $2X+1$. ✓ Aceeași reducere modulo $3$ se aplică identic la exponenții $2026$ și $1000$.