Exerciții rezolvate cu statistică descriptivă și eșantionare — clasa a 10-a

$\dfrac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$.

Ordonat: $\{1, 3, 5, 7, 9\}$. Valoarea din mijloc (a 3-a din 5) este $5$.

Max $= 22$, min $= 4$, deci amplitudinea $= 22 - 4 = 18$.

Ordonat: $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$. Cele două valori din mijloc sunt $4$ și $5$. Mediana $= \dfrac{4 + 5}{2} = 4.5$.

Suma $= 5 \cdot 7 + 8 \cdot 8 + 7 \cdot 9 = 35 + 64 + 63 = 162$. Media $= \dfrac{162}{20} = 8.1$.

Ordonat (deja): $\{2, 4, 5, 7, 8, 11, 14\}$. Mediana este $7$ (poziția 4). Jumătatea inferioară: $\{2, 4, 5\}$. Mediana jumătății inferioare: $4$. Deci $Q_1 = 4$.

$\dfrac{1}{n}\sum (x_i + 5) = \dfrac{1}{n}\sum x_i + 5 = \bar{x} + 5$.

$\sigma(c \cdot x) = |c| \sigma(x)$. Cu $c = 2$: $\sigma(2x) = 2\sigma$.

Frecvențele cumulate: $4\to2$, $5\to6$, $6\to12$, $7\to17$, $8\to20$. Jumătatea inferioară (pozițiile $1$–$10$): pozițiile $1$–$2$ au nota $4$, pozițiile $3$–$6$ au nota $5$, pozițiile $7$–$10$ au nota $6$. Șirul acestor $10$ valori este $4,4,5,5,5,5,6,6,6,6$, iar mediana lor (media pozițiilor $5$ și $6$) este $Q_1=\dfrac{5+5}{2}=5$. Jumătatea superioară (pozițiile $11$–$20$): pozițiile $11$–$12$ au nota $6$, pozițiile $13$–$17$ au nota $7$, pozițiile $18$–$20$ au nota $8$. Șirul este $6,6,7,7,7,7,7,8,8,8$, iar mediana lor este $Q_3=\dfrac{7+7}{2}=7$. $$IQR = Q_3-Q_1 = 7-5=2.$$ Verificare: reconstituind șirul complet de $20$ note din tabel și calculând direct cuartilele (poziții $5$–$6$ pentru $Q_1$, poziții $15$–$16$ pentru $Q_3$) se obține din nou $Q_1=5$, $Q_3=7$, $IQR=2$. ✓

Notăm $a=10,b=11,c=12,d=13$ valorile fixe, ordonate crescător. **Cazul $x\le b=11$:** șirul ordonat este $x,a,b,c,d$ sau $a,x,b,c,d$ (mediana rămâne $b=11$ în ambele situații). Ecuația medie=mediană: $$\frac{10+11+12+13+x}{5}=11 \implies 46+x=55 \implies x=9.$$ Verificăm: $9\le11$ ✓, deci $x=9$ e o soluție validă. (Șir: $9,10,11,12,13$ → mediana $=11=$ media $\frac{55}{5}=11$.) ✓ **Cazul $11<x\le12$:** șirul ordonat este $10,11,x,12,13$, iar mediana este chiar $x$. Ecuația: $$\frac{10+11+12+13+x}{5}=x \implies 46+x=5x \implies 4x=46 \implies x=\frac{23}{2}=11{,}5.$$ Verificăm: $11<11{,}5\le12$ ✓, deci $x=\dfrac{23}{2}$ e o soluție validă. (Șir: $10,11,11{,}5,12,13$ → mediana $=11{,}5=$ media $\frac{57{,}5}{5}=11{,}5$.) ✓ **Cazul $x>12$:** șirul ordonat este $10,11,12,13,x$ (mediana $=12$). Ecuația: $$\frac{10+11+12+13+x}{5}=12 \implies 46+x=60 \implies x=14.$$ Verificăm: $14>12$ ✓ (și $14>13$, deci șirul $10,11,12,13,14$ e corect ordonat), deci $x=14$ e o soluție validă. (Mediana $=12=$ media $\frac{60}{5}=12$.) ✓ Suma tuturor soluțiilor valide: $$9+\frac{23}{2}+14 = \frac{18+23+28}{2}=\frac{69}{2}.$$ Verificare (scanare exhaustivă): testând toate valorile $x=\frac{k}{2}$ pentru $k$ întreg în intervalul $[-100,100]$, singurele care satisfac media$=$mediana pentru acest set sunt exact $x\in\{9,\ 11{,}5,\ 14\}$ — nicio altă valoare, confirmând că suma corectă este $\dfrac{69}{2}=34{,}5$. ✓

Media globală (ponderată cu numărul de elevi din fiecare grup): $$\mu = \frac{n_A\mu_A+n_B\mu_B}{n_A+n_B} = \frac{5\cdot60+10\cdot75}{15} = \frac{300+750}{15} = \frac{1050}{15}=70.$$ Varianța combinată (formula varianței "pooled", care include OBLIGATORIU dispersia mediilor grupurilor față de media globală): $$\text{Var}_{\text{total}} = \frac{n_A\left[\text{Var}_A+(\mu_A-\mu)^2\right]+n_B\left[\text{Var}_B+(\mu_B-\mu)^2\right]}{n_A+n_B}.$$ Calculăm termenii: $(\mu_A-\mu)^2=(60-70)^2=100$; $(\mu_B-\mu)^2=(75-70)^2=25$. $$\text{Var}_{\text{total}} = \frac{5(16+100)+10(25+25)}{15} = \frac{5\cdot116+10\cdot50}{15} = \frac{580+500}{15} = \frac{1080}{15}=72.$$ Capcana: media ponderată NAIVĂ a celor două varianțe (ignorând complet diferența dintre medii) ar da $\dfrac{5\cdot16+10\cdot25}{15}=\dfrac{80+250}{15}=\dfrac{330}{15}=22$ — mult mai mică decât valoarea corectă, pentru că ignoră complet dispersia SUPLIMENTARĂ introdusă de faptul că grupurile au medii diferite. Verificare (sumă de pătrate, definiție directă): $E[X_A^2]=\text{Var}_A+\mu_A^2=16+3600=3616$; $E[X_B^2]=25+5625=5650$. Suma totală a pătratelor: $5\cdot3616+10\cdot5650=18080+56500=74580$; $E[X_{\text{total}}^2]=74580/15=4972$; $\text{Var}_{\text{total}}=4972-70^2=4972-4900=72$ ✓, coincide.

Folosim identitatea (valabilă pentru orice set de $n$ numere reale, indiferent de valorile lor exacte): $$\sum_{i<j}(x_i-x_j)^2 = n^2\cdot\text{Var}(X).$$ De ce e adevărată: dubla sumă peste toate perechile ORDONATE, $\sum_i\sum_j(x_i-x_j)^2$, se dezvoltă ca $2n\sum_i x_i^2-2\left(\sum_i x_i\right)^2=2n\cdot n\cdot\text{Var}(X)=2n^2\text{Var}(X)$ (folosind $\sum(x_i-\bar x)^2=n\cdot\text{Var}(X)$). Cum termenii diagonali ($i=j$) sunt nuli, iar fiecare pereche neordonată apare de $2$ ori în suma ordonată, rezultă $\sum_{i<j}(x_i-x_j)^2 = n^2\text{Var}(X)$. Aplicăm cu $n=4$ și suma dată $96$: $$96 = 4^2\cdot\text{Var}(X) = 16\cdot\text{Var}(X) \implies \text{Var}(X) = \frac{96}{16} = 6.$$ Verificare (identitate testată pe un set concret): pentru $\{1,3,5,7\}$, media este $4$, varianța este $\dfrac{9+1+1+9}{4}=5$. Suma pătratelor celor $6$ diferențe de perechi: $(1-3)^2+(1-5)^2+(1-7)^2+(3-5)^2+(3-7)^2+(5-7)^2=4+16+36+4+16+4=80$. Verificăm identitatea: $n^2\cdot\text{Var}=16\cdot5=80$ ✓ — coincide exact, confirmând validitatea formulei folosite (și, prin urmare, corectitudinea răspunsului $\text{Var}(X)=6$ pentru datele din enunț).