pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 11-a

Exerciții rezolvate cu continuitate — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 35 exerciții rezolvate cu continuitate pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de continuitate.

Continuitate #1

Funcția f(x)=x2+3x−1f(x) = x^2 + 3x - 1 este continuă pe:
  1. A. R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}
  2. B. R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}
  3. C. R\mathbb{R}
  4. D. doar pe [0,1]\text{doar}\text{ }\allowbreak{}\text{pe}\text{ }\allowbreak{}[0, 1]
Rezolvare

Răspuns corect: C. R\mathbb{R}

Funcțiile polinomiale sunt continue peste tot pe R\mathbb{R}.

Continuitate #2

Funcția f(x)=1x−2f(x) = \dfrac{1}{x - 2} este discontinuă în:
  1. A. 00
  2. B. 22
  3. C. −2-2
  4. D. niciunde\text{niciunde}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 22

ff este nedefinită în x=2x = 2, unde numitorul se anulează.

Continuitate #3

Pentru ce valoare a∈Ra \in \mathbb{R} este f(x)={x2−1x−1,x≠1a,x=1f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \ne 1 \\ a, & x = 1 \end{cases} continuă în x=1x = 1?
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 22
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: C. 22

x2−1x−1=x+1→2\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1 \to 2 când x→1x \to 1. Pentru continuitate, a=2a = 2.

Continuitate #4

Pentru f(x)={2x+1,x≤1x2+a,x>1f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \le 1 \\ x^2 + a, & x > 1 \end{cases}, găsiți aa astfel încât ff să fie continuă în x=1x = 1:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 22
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: C. 22

Stânga: 2⋅1+1=32 \cdot 1 + 1 = 3. Dreapta: 1+a1 + a. Egalând: a=2a = 2.

Continuitate #5

Funcția f(x)=∣x∣xf(x) = \dfrac{|x|}{x} are în x=0x = 0:
  1. A. o discontinuitate eliminabila˘\text{o}\text{ }\allowbreak{}\text{discontinuitate}\text{ }\allowbreak{}\text{eliminabilă}
  2. B. o prelungire continua˘\text{o}\text{ }\allowbreak{}\text{prelungire}\text{ }\allowbreak{}\text{continuă}
  3. C. o discontinuitate de salt\text{o}\text{ }\allowbreak{}\text{discontinuitate}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\text{salt}
  4. D. o discontinuitate esențiala˘\text{o}\text{ }\allowbreak{}\text{discontinuitate}\text{ }\allowbreak{}\text{esențială}
Rezolvare

Răspuns corect: C. o discontinuitate de salt\text{o}\text{ }\allowbreak{}\text{discontinuitate}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\text{salt}

lim⁡x→0−f=−1\lim_{x \to 0^-}f = -1 și lim⁡x→0+f=1\lim_{x \to 0^+}f = 1 — limite finite dar inegale, deci o discontinuitate de salt.

Continuitate #6

Prin Teorema Valorii Intermediare, ecuația f(x)=x3+x−1=0f(x) = x^3 + x - 1 = 0 are cel puțin o rădăcină în:
  1. A. (−1,0)(-1, 0)
  2. B. (0,1)(0, 1)
  3. C. (1,2)(1, 2)
  4. D. niciunde pe R\text{niciunde}\text{ }\allowbreak{}\text{pe}\text{ }\allowbreak{}\mathbb{R}
Rezolvare

Răspuns corect: B. (0,1)(0, 1)

f(0)=−1<0f(0) = -1 < 0 și f(1)=1>0f(1) = 1 > 0. Deoarece ff este continuă, prin TVI există c∈(0,1)c \in (0, 1) cu f(c)=0f(c) = 0.

Continuitate #7

Găsiți a∈Ra \in \mathbb{R} astfel încât f(x)={sin⁡(2x)x,x≠0a,x=0f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(2x)}{x}, & x \ne 0 \\ a, & x = 0 \end{cases} să fie continuă în 00:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 22
  4. D. 12\dfrac{1}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 22

lim⁡x→0sin⁡2xx=2⋅lim⁡x→0sin⁡2x2x=2⋅1=2\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2. Deci a=2a = 2.

Continuitate #8

Ecuația cos⁡x=x\cos x = x are cel puțin o soluție în:
  1. A. (−1,0)(-1, 0)
  2. B. (0,π/2)(0, \pi/2)
  3. C. (π,2π)(\pi, 2\pi)
  4. D. niciunde\text{niciunde}
Rezolvare

Răspuns corect: B. (0,π/2)(0, \pi/2)

g(0)=1>0g(0) = 1 > 0, g(π/2)=0−π/2<0g(\pi/2) = 0 - \pi/2 < 0. Deoarece gg este continuă, prin TVI există c∈(0,π/2)c \in (0, \pi/2) cu g(c)=0g(c) = 0, adică cos⁡c=c\cos c = c.

Continuitate #9

Ecuația x3+x−5=0x^3+x-5=0 admite o soluție reală în intervalul:
  1. A. (0,1)(0,1)
  2. B. (2,3)(2,3)
  3. C. (1,2)(1,2)
  4. D. (−2,−1)(-2,-1)
Rezolvare

Răspuns corect: C. (1,2)(1,2)

Fie h(x)=x3+x−5h(x)=x^3+x-5, continuă pe R\mathbb{R}. Avem h(1)=1+1−5=−3<0h(1)=1+1-5=-3<0 și h(2)=8+2−5=5>0h(2)=8+2-5=5>0. Cum hh este continuă și schimbă semnul pe [1,2][1,2], prin teorema lui Darboux există cel puțin o soluție în (1,2)(1,2). În celelalte intervale nu are loc schimbare de semn: h(0)=−5h(0)=-5, h(−1)=−7h(-1)=-7 (ambele negative), h(3)=25h(3)=25 (pozitiv, ca și h(2)h(2)). În plus, h′(x)=3x2+1>0h'(x)=3x^2+1>0 pentru orice xx, deci hh este strict crescătoare — soluția este unică și se află exact în (1,2)(1,2). Verificare: h(1,5)=3,375+1,5−5=−0,125<0h(1{,}5)=3{,}375+1{,}5-5=-0{,}125<0 și h(1,6)=4,096+1,6−5=0,696>0h(1{,}6)=4{,}096+1{,}6-5=0{,}696>0, deci rădăcina este chiar în (1,5; 1,6)⊂(1,2)(1{,}5;\,1{,}6)\subset(1,2). ✓

Continuitate #10

Fie f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={sin⁡(ax)x,x<0b,x=0e2x−1x,x>0f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin(ax)}{x}, & x<0\\ b, & x=0\\ \dfrac{e^{2x}-1}{x}, & x>0\end{cases}, cu a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}. Pentru ca ff să fie continuă pe R\mathbb{R}, valoarea sumei a+ba+b este:
  1. A. 44
  2. B. 22
  3. C. 66
  4. D. 33
Rezolvare

Răspuns corect: A. 44

lim⁡x→0−sin⁡(ax)x=a⋅lim⁡x→0−sin⁡(ax)ax=a⋅1=a\lim_{x\to0^-}\frac{\sin(ax)}{x}=a\cdot\lim_{x\to0^-}\frac{\sin(ax)}{ax}=a\cdot1=a (pentru a≠0a\ne0; dacă a=0a=0 limita e 0=a0=a, formula rămâne valabilă). lim⁡x→0+e2x−1x=2⋅lim⁡x→0+e2x−12x=2⋅1=2.\lim_{x\to0^+}\frac{e^{2x}-1}{x}=2\cdot\lim_{x\to0^+}\frac{e^{2x}-1}{2x}=2\cdot1=2. Continuitatea în x=0x=0 cere ca cele două limite laterale și f(0)=bf(0)=b să fie egale: a=2a=2 și b=2b=2. Deci a+b=2+2=4a+b=2+2=4. Verificare: cu a=b=2a=b=2, la x=−0,001x=-0{,}001: sin⁡(−0,002)−0,001≈1,999999\dfrac{\sin(-0{,}002)}{-0{,}001}\approx1{,}999999; la x=0,001x=0{,}001: e0,002−10,001≈2,002\dfrac{e^{0{,}002}-1}{0{,}001}\approx2{,}002 — ambele aproape de 2=f(0)2=f(0). ✓

Continuitate #11

Se consideră f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)={x2,x≤1ax+b,x>1f(x)=\begin{cases}x^2, & x\le 1\\ ax+b, & x>1\end{cases} Dacă ff este derivabilă pe R\mathbb R, atunci a+ba+b este egal cu:
  1. A. 33
  2. B. 22
  3. C. 00
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: D. 11

Pe (−∞,1)(-\infty,1) și pe (1,+∞)(1,+\infty) funcția e derivabilă (polinoame). Rămâne punctul de racordare x=1x=1. **Continuitate în 11:** lim⁡x→1−f(x)=1,lim⁡x→1+f(x)=a+b,\lim_{x\to1^-}f(x)=1,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=a+b, deci a+b=1a+b=1. **Derivabilitate în 11:** derivatele laterale trebuie să coincidă: fs′(1)=2x∣x=1=2,fd′(1)=a,f'_s(1)=2x\big|_{x=1}=2,\qquad f'_d(1)=a, deci a=2a=2, și atunci b=1−a=−1b=1-a=-1. Verificare: f(x)=2x−1f(x)=2x-1 pentru x>1x>1 — tangenta la parabolă în (1,1)(1,1), deci racordarea e netedă ✓. Prin urmare a+b=2+(−1)=1.a+b=2+(-1)=1. Observație: condiția de continuitate singură dă direct a+b=1a+b=1 — dar derivabilitatea este cea care fixează aa și bb separat. ✓

Continuitate #12

Fie f:[0,1]→Rf:[0,1]\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x3f(x)=x^2-x^3 (observă că f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0). Se știe că există c∈[0,12]c\in\left[0,\tfrac12\right] astfel încât f(c)=f ⁣(c+12)f(c)=f\!\left(c+\tfrac12\right) (teorema „coardei orizontale" de lungime 12\tfrac12). Valoarea exactă a lui cc este:
  1. A. 1−1312\dfrac{1-\sqrt{13}}{12}
  2. B. 1+136\dfrac{1+\sqrt{13}}{6}
  3. C. 1+1312\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}
  4. D. 1312\dfrac{13}{12}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 1+1312\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}

Pasul de recunoaștere: definim g(x)=f ⁣(x+12)−f(x)g(x)=f\!\left(x+\tfrac12\right)-f(x) pe [0,12]\left[0,\tfrac12\right]. Atunci g(0)=f ⁣(12)−f(0),g ⁣(12)=f(1)−f ⁣(12).g(0) = f\!\left(\tfrac12\right)-f(0), \qquad g\!\left(\tfrac12\right) = f(1)-f\!\left(\tfrac12\right). Cum f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0, avem g(0)=f(1/2)g(0)=f(1/2) și g(1/2)=−f(1/2)g(1/2)=-f(1/2), deci g(0)=−g(1/2)g(0)=-g(1/2) — cele două valori au semne opuse (sau ambele sunt 00). Prin Darboux, există c∈[0,12]c\in\left[0,\tfrac12\right] cu g(c)=0g(c)=0, adică f(c)=f(c+1/2)f(c)=f(c+1/2). Rezolvare exactă: cu f(x)=x2−x3f(x)=x^2-x^3, f ⁣(x+12)−f(x)=(x+12)2−(x+12)3−x2+x3.f\!\left(x+\tfrac12\right)-f(x) = \left(x+\tfrac12\right)^2-\left(x+\tfrac12\right)^3 - x^2+x^3. Dezvoltând (verificat simbolic), ecuația g(x)=0g(x)=0 se reduce la 12x2−2x−1=012x^2-2x-1=0, cu soluțiile x=2±4+4824=1±1312.x = \frac{2\pm\sqrt{4+48}}{24} = \frac{1\pm\sqrt{13}}{12}. Doar 1+1312≈0,384∈[0,12]\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}\approx 0{,}384 \in \left[0,\tfrac12\right] este validă (cealaltă, 1−1312≈−0,217\dfrac{1-\sqrt{13}}{12}\approx -0{,}217, e negativă). Verificare (sympy): `solve(expand(f(x)-f(x+Rational(1,2))), x)` → {1−1312, 1+1312}\left\{\dfrac{1-\sqrt{13}}{12},\ \dfrac{1+\sqrt{13}}{12}\right\}; doar a doua e în [0,1/2][0,1/2]. ✓
În aplicațieÎncă 23 exerciții cu continuitateIntră în cont și continui direct de la continuitate — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 11-a