pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 11-a

Exerciții rezolvate cu geometrie analitică în spațiu — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu geometrie analitică în spațiu pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Geometrie analitică în spațiu #1

Modulul ∥v⃗∥\|\vec{v}\| pentru v⃗=(1,2,2)\vec{v} = (1, 2, 2) este:
  1. A. 5\sqrt{5}
  2. B. 33
  3. C. 55
  4. D. 99
Rezolvare

Răspuns corect: B. 33

∥v⃗∥=1+4+4=9=3\|\vec{v}\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.

Geometrie analitică în spațiu #2

Distanța de la A(1,2,3)A(1, 2, 3) la B(4,6,3)B(4, 6, 3) este:
  1. A. 44
  2. B. 55
  3. C. 77
  4. D. 50\sqrt{50}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 55

d=32+42+02=25=5d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5. (Tripla 3-4-5 în planul xyxy.)

Geometrie analitică în spațiu #3

Mijlocul segmentului ABAB unde A(2,−1,4)A(2, -1, 4) și B(8,5,−2)B(8, 5, -2):
  1. A. (5,2,1)(5, 2, 1)
  2. B. (6,6,−6)(6, 6, -6)
  3. C. (3,3,1)(3, 3, 1)
  4. D. (10,4,2)(10, 4, 2)
Rezolvare

Răspuns corect: A. (5,2,1)(5, 2, 1)

Facem media fiecărei coordonate: ((2+8)/2,(−1+5)/2,(4−2)/2)=(5,2,1)((2+8)/2, (-1+5)/2, (4-2)/2) = (5, 2, 1).

Geometrie analitică în spațiu #4

(1,2,3)⋅(2,−1,1)=?(1, 2, 3) \cdot (2, -1, 1) = ?
  1. A. 00
  2. B. 22
  3. C. 33
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33

1⋅2+2⋅(−1)+3⋅1=2−2+3=31\cdot 2 + 2\cdot(-1) + 3\cdot 1 = 2 - 2 + 3 = 3.

Geometrie analitică în spațiu #5

Pentru ce valoare aa este (a,1,2)⊥(3,−1,−1)(a, 1, 2) \perp (3, -1, -1)?
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. −1-1
  4. D. 33
Rezolvare

Răspuns corect: B. 11

3a−1−2=0⇒3a=3⇒a=13a - 1 - 2 = 0 \Rightarrow 3a = 3 \Rightarrow a = 1.

Geometrie analitică în spațiu #6

(1,0,0)×(0,2,0)=?(1, 0, 0) \times (0, 2, 0) = ?
  1. A. (0,0,0)(0, 0, 0)
  2. B. (2,0,0)(2, 0, 0)
  3. C. (0,0,2)(0, 0, 2)
  4. D. (0,2,0)(0, 2, 0)
Rezolvare

Răspuns corect: C. (0,0,2)(0, 0, 2)

(1,0,0)×(0,2,0)=(0⋅0−0⋅2,0⋅0−1⋅0,1⋅2−0⋅0)=(0,0,2)(1, 0, 0) \times (0, 2, 0) = (0\cdot 0 - 0\cdot 2, 0\cdot 0 - 1\cdot 0, 1\cdot 2 - 0\cdot 0) = (0, 0, 2).

Geometrie analitică în spațiu #7

Raza sferei (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=49(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 49 este:
  1. A. 66
  2. B. 77
  3. C. 1414
  4. D. 4949
Rezolvare

Răspuns corect: B. 77

r2=49⇒r=7r^2 = 49 \Rightarrow r = 7.

Geometrie analitică în spațiu #8

Distanța de la (0,0,0)(0, 0, 0) la planul 2x+2y+z−6=02x + 2y + z - 6 = 0 este:
  1. A. 22
  2. B. 33
  3. C. 5\sqrt{5}
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: A. 22

d=∣−6∣/4+4+1=6/3=2d = |{-6}|/\sqrt{4 + 4 + 1} = 6/3 = 2.

Geometrie analitică în spațiu #9

Cele patru puncte (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) sunt coplanare?
  1. A. Da\text{Da}
  2. B. Nu\text{Nu}
  3. C. Doar trei dintre ele sunt\text{Doar}\text{ }\allowbreak{}\text{trei}\text{ }\allowbreak{}\text{dintre}\text{ }\allowbreak{}\text{ele}\text{ }\allowbreak{}\text{sunt}
  4. D. Nu se poate determina\text{Nu}\text{ }\allowbreak{}\text{se}\text{ }\allowbreak{}\text{poate}\text{ }\allowbreak{}\text{determina}
Rezolvare

Răspuns corect: B. Nu\text{Nu}

Tetraedrul cu aceste vârfuri are volumul 1/6≠01/6 \ne 0, deci cele patru puncte NU sunt coplanare — formează un tetraedru nedegenerat.

Geometrie analitică în spațiu #10

Volumul tetraedrului cu vârfurile (0,0,0),(3,0,0),(0,4,0),(0,0,5)(0,0,0), (3,0,0), (0,4,0), (0,0,5) este:
  1. A. 55
  2. B. 1010
  3. C. 3030
  4. D. 6060
Rezolvare

Răspuns corect: B. 1010

Cele trei muchii din origine sunt (3,0,0),(0,4,0),(0,0,5)(3,0,0), (0,4,0), (0,0,5). Determinantul: 3⋅4⋅5=603 \cdot 4 \cdot 5 = 60. Volumul: 60/6=1060/6 = 10.

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 11-a