Exerciții rezolvate cu permutări și grupuri simetrice — clasa a 11-a

$|S_n| = n!$. Deci $|S_4| = 24$.

Permutarea trimite $1 \to 2$, $2 \to 3$, $3 \to 1$, ceea ce este ciclul de lungime $3$: $(1\;2\;3)$.

$\tau(1) = 3$, apoi $\sigma(3) = 1$. Deci $(\sigma \circ \tau)(1) = 1$.

Perechile: $(1,2)$: $3 > 1$ ✓; $(1,3)$: $3 > 2$ ✓; $(2,3)$: $1 < 2$ ✗. Două inversiuni.

Un ciclu de lungime $3$ are semnul $(-1)^{3-1} = +1$. (Echivalent, el poate fi scris ca produs a două transpuneri: $(1\;2\;3) = (1\;3)(1\;2)$.)

$\operatorname{sgn}((i\;j)) = (-1)^{2-1} = -1$.

$|A_n| = \dfrac{n!}{2}$ (una dintre proprietățile standard ale grupului alternant).

$\sigma$: $1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1$. Deci $\sigma^2$: $1 \to 3$, $3 \to 1$, $2 \to 4$, $4 \to 2$. Aceasta este $(1\;3)(2\;4)$.

$\sigma$ se descompune în cicluri disjuncte de lungimi $3$, $2$ și $4$. Ordinul unei permutări este cel mai mic multiplu comun al lungimilor ciclurilor disjuncte: $$\text{ord}(\sigma)=\text{cmmmc}(3,2,4)=12.$$ Verificare (sympy): `Permutation([[0,1,2],[3,4],[5,6,7,8]], size=9).order()` → $12$, coincide cu `math.lcm(3,2,4)=12`. ✓

Un element de ordin $4$ trebuie să aibă tipul ciclic cu $\text{cmmmc}$ al lungimilor egal cu $4$. În $S_6$ (sumă a lungimilor $\le6$), există exact două tipuri ciclice posibile: - **tip $(4,1,1)$** (un $4$-ciclu, două puncte fixe): se aleg $4$ din cele $6$ elemente ($\binom64=15$ moduri), apoi se aranjează într-un $4$-ciclu ($3!=6$ moduri) $\Rightarrow 15\cdot6=90$; - **tip $(4,2)$** (un $4$-ciclu și un $2$-ciclu, fără puncte fixe): $\dfrac{6!}{4^1\cdot1!\cdot2^1\cdot1!}=\dfrac{720}{8}=90$. Total: $90+90=180$. Verificare (sympy): numărare directă prin forță brută — pentru toate cele $720$ de permutări din $S_6$, s-a calculat `Permutation(...).order()` și s-au numărat cele cu ordinul exact $4$: rezultatul este $180$, coincizând exact cu suma celor două tipuri ciclice. ✓

Din $\sigma\circ x=\tau$ obținem $x=\sigma^{-1}\circ\tau$. Inversul lui $\sigma=(1\,2\,3)(4\,5)$ este $\sigma^{-1}=(1\,3\,2)(4\,5)$ (inversăm fiecare ciclu; ciclul de lungime $2$ e propriul invers). Calculăm $x(i)=\sigma^{-1}(\tau(i))$ pentru fiecare $i$: - $\tau(1)=4$, $\sigma^{-1}(4)=5 \Rightarrow x(1)=5$ - $\tau(2)=5$, $\sigma^{-1}(5)=4 \Rightarrow x(2)=4$ - $\tau(3)=2$, $\sigma^{-1}(2)=1 \Rightarrow x(3)=1$ - $\tau(4)=1$, $\sigma^{-1}(1)=3 \Rightarrow x(4)=3$ - $\tau(5)=3$, $\sigma^{-1}(3)=2 \Rightarrow x(5)=2$ Deci $x: 1\to5\to2\to4\to3\to1$, adică $x=(1\,5\,2\,4\,3)$, un $5$-ciclu. Verificare: calculăm $\sigma(x(i))$ și comparăm cu $\tau(i)$: $\sigma(x(1))=\sigma(5)=4=\tau(1)$ ✓, $\sigma(x(2))=\sigma(4)=5=\tau(2)$ ✓, $\sigma(x(3))=\sigma(1)=2=\tau(3)$ ✓, $\sigma(x(4))=\sigma(3)=1=\tau(4)$ ✓, $\sigma(x(5))=\sigma(2)=3=\tau(5)$ ✓.

Ordinul lui $\sigma$ este $\text{cmmmc}(5,3)=15$, deci $\sigma^{15}=\text{id}$, iar $\sigma^{97}=\sigma^{97\bmod15}$. $97=6\cdot15+7$, deci $97\bmod15=7$, adică $\sigma^{97}=\sigma^7$. Cum ciclurile $(1\,2\,3\,4\,5)$ și $(6\,7\,8)$ sunt disjuncte (deci comută), ridicăm fiecare la puterea $7$ separat: - pe ciclul de lungime $5$: $7\bmod5=2$, deci acționează ca $(1\,2\,3\,4\,5)^2$: $1\to3$ (pas de $2$ poziții); - pe ciclul de lungime $3$: $7\bmod3=1$, deci acționează ca $(6\,7\,8)^1$ (neschimbat), irelevant pentru $\sigma^{97}(1)$. Așadar $\sigma^{97}(1)=(1\,2\,3\,4\,5)^2(1)=3$. Verificare directă (calcul complet): $\sigma^7$ pe ciclul de $5$ elemente este $(1\,3\,5\,2\,4)$, deci $\sigma^7(1)=3=\sigma^{97}(1)$. ✓