Exerciții rezolvate cu șirul lui rolle — clasa a 11-a

Teorema lui Rolle: există $c \in (a, b)$ cu $f'(c) = 0$.

$f(1) = 0 = f(3)$, deci teorema lui Rolle se aplică. $f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow c = 2$.

$f(\pm\sqrt 3) = 0$, deci teorema lui Rolle se aplică. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$.

$P(-\infty) = -\infty$, $P(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 > 0$, $P(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0$, $P(\infty) = +\infty$. Secvența de semne $-,\,+,\,-,\,+$ arată trei schimbări de semn, deci trei rădăcini reale distincte.

Dacă $f$ are $n$ rădăcini distincte, între fiecare pereche consecutivă teorema lui Rolle garantează o rădăcină a lui $f'$ — adică $n - 1$ rădăcini ale lui $f'$. Deci dacă $f'$ are cel mult $n - 1$ rădăcini, $f$ are cel mult $n$.

$f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x)$. $f'(c) = 0 \Rightarrow c = 1$.

$P'(x) > 0$ peste tot, deci $P$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Combinat cu $\lim_{\pm\infty}P = \pm\infty$, $P$ are exact o rădăcină reală prin teorema valorilor intermediare.

$P(-1) > 0$ și $P(1) < 0$: $2 + m > 0$ și $-2 + m < 0$, rezultând $-2 < m < 2$.

$y^2 - 6y + 8 = 0 \Rightarrow y \in \{2, 4\}$. Atunci $x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$ și $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Patru soluții reale distincte.

Fie $g(x)=x^3-3x$. Derivata $g'(x)=3x^2-3=0$ dă punctele critice $x=\pm1$, cu $g(-1)=2$ (maxim local) și $g(1)=-2$ (minim local). Ecuația $x^3-3x+m=0$ se scrie $g(x)=-m$: - dacă $-2 < -m < 2$ (adică $-2<m<2$): dreapta orizontală $y=-m$ taie graficul de trei ori — trei rădăcini reale; - dacă $-m=\pm2$ (adică $m=\mp2$): tangență la un extrem — două rădăcini distincte (una dublă); - dacă $-m>2$ sau $-m<-2$ (adică $m<-2$ sau $m>2$): dreapta taie graficul o singură dată — o rădăcină reală. Deci exact o rădăcină reală are loc pentru $m<-2$ sau $m>2$. Dintre valorile întregi date, acestea sunt: $$m\in\{-5,-4,-3\}\cup\{3,4,5\},$$ în total $3+3=6$ valori (excludem $m=-2$ și $m=2$, care dau două rădăcini, și $m\in\{-1,0,1\}$, care dau trei). Verificare numerică: pentru $m=3$, $x^3-3x+3=0$ are o singură rădăcină reală $x\approx-2{,}10$; pentru $m=0$, $x^3-3x=0$ are trei rădăcini reale ($0,\pm\sqrt3$). ✓

Fie $f(x)=x^3-3x+1$. $$f'(x)=3x^2-3=0\iff x\in\{-1,1\}.$$ Valorile în punctele critice: $$f(-1)=-1+3+1=3>0\ \text{(maxim local)},\qquad f(1)=1-3+1=-1<0\ \text{(minim local)}.$$ Șirul lui Rolle: $f(-\infty)=-\infty$, $f(-1)=3$, $f(1)=-1$, $f(+\infty)=+\infty$ — semnele sunt $$-,\ +,\ -,\ +,$$ adică trei schimbări de semn, deci trei rădăcini reale distincte, câte una în fiecare dintre intervalele $(-\infty,-1)$, $(-1,1)$, $(1,+\infty)$. (Confirmare numerică: $x\approx-1{,}8794$; $x\approx 0{,}3473$; $x\approx 1{,}5321$. Discriminantul cubicei este $81>0$.) ✓

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0 \implies x=0,2$. $f(0)=m$ (maxim local), $f(2)=m-4$ (minim local). Condiția pentru $3$ rădăcini distincte: $m>0$ și $m<4 \implies m\in(0,4)$ — interval DESCHIS (la $m=0$ sau $m=4$ apare o rădăcină dublă, deci doar $2$ rădăcini distincte — verificat numeric). Întregii din $(0,4)$ sunt $1,2,3$ — exact $3$ valori.