pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 12-a

Exerciții rezolvate cu grupuri — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 66 exerciții rezolvate cu grupuri pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Grupuri #1

Un grup este o mulțime nevidă cu o lege de compoziție care satisface:
  1. A. doar asociativitatea\text{doar}\text{ }\allowbreak{}\text{asociativitatea}
  2. B. doar existența elementului neutru\text{doar}\text{ }\allowbreak{}\text{existența}\text{ }\allowbreak{}\text{elementului}\text{ }\allowbreak{}\text{neutru}
  3. C. asociativitate, element neutru și simetrice\text{asociativitate,}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{neutru}\text{ }\allowbreak{}\text{și}\text{ }\allowbreak{}\text{simetrice}
  4. D. doar comutativitatea\text{doar}\text{ }\allowbreak{}\text{comutativitatea}
Rezolvare

Răspuns corect: C. asociativitate, element neutru și simetrice\text{asociativitate,}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{neutru}\text{ }\allowbreak{}\text{și}\text{ }\allowbreak{}\text{simetrice}

Axiomele de grup: asociativitate, element neutru, orice element are un simetric. Comutativitatea este axioma suplimentară pentru un grup abelian.

Grupuri #2

(Z,+)(\mathbb{Z}, +) este:
  1. A. un grup finit\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{grup}\text{ }\allowbreak{}\text{finit}
  2. B. un grup abelian\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{grup}\text{ }\allowbreak{}\text{abelian}
  3. C. un grup neabelian\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{grup}\text{ }\allowbreak{}\text{neabelian}
  4. D. nu este grup\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{grup}
Rezolvare

Răspuns corect: B. un grup abelian\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{grup}\text{ }\allowbreak{}\text{abelian}

Asociativ ✓, element neutru 00 ✓, simetricul lui nn este −n-n ✓, comutativ ✓. Deci (Z,+)(\mathbb{Z}, +) este un grup abelian.

Grupuri #3

Într-un grup (G,⋅)(G, \cdot) cu elementul neutru ee, ordinul unui element gg este:
  1. A. cel mai mare n cu gn=e\text{cel}\text{ }\allowbreak{}\text{mai}\text{ }\allowbreak{}\text{mare}\text{ }\allowbreak{}n\text{ }\allowbreak{}\text{cu}\text{ }\allowbreak{}g^n = e
  2. B. ∣G∣|G|
  3. C. cel mai mic n pozitiv cu gn=e (sau ∞ daca˘ nu exista˘)\text{cel}\text{ }\allowbreak{}\text{mai}\text{ }\allowbreak{}\text{mic}\text{ }\allowbreak{}n\text{ }\allowbreak{}\text{pozitiv}\text{ }\allowbreak{}\text{cu}\text{ }\allowbreak{}g^n = e\text{ }\allowbreak{}\text{(sau}\text{ }\allowbreak{}\infty\text{ }\allowbreak{}\text{dacă}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{există)}
  4. D. ıˆntotdeauna egal cu 1\text{întotdeauna}\text{ }\allowbreak{}\text{egal}\text{ }\allowbreak{}\text{cu}\text{ }\allowbreak{}1
Rezolvare

Răspuns corect: C. cel mai mic n pozitiv cu gn=e (sau ∞ daca˘ nu exista˘)\text{cel}\text{ }\allowbreak{}\text{mai}\text{ }\allowbreak{}\text{mic}\text{ }\allowbreak{}n\text{ }\allowbreak{}\text{pozitiv}\text{ }\allowbreak{}\text{cu}\text{ }\allowbreak{}g^n = e\text{ }\allowbreak{}\text{(sau}\text{ }\allowbreak{}\infty\text{ }\allowbreak{}\text{dacă}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{există)}

Ordinul lui gg este cel mai mic număr întreg pozitiv nn cu gn=eg^n = e (sau infinit dacă nu există niciun astfel de nn).

Grupuri #4

În (Z6,+)(\mathbb{Z}_6, +), ordinul lui 2^\hat{2} este:
  1. A. 22
  2. B. 33
  3. C. 44
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: B. 33

2^,4^,6^=0^\hat{2}, \hat{4}, \hat{6} = \hat{0} — trei adunări, deci ordinul este 33.

Grupuri #5

O submulțime nevidă HH a unui grup (G,⋅)(G, \cdot) este subgrup dacă și numai dacă:
  1. A. H conține elementul neutruH\text{ }\allowbreak{}\text{conține}\text{ }\allowbreak{}\text{elementul}\text{ }\allowbreak{}\text{neutru}
  2. B. H este ıˆnchisa˘ la ıˆnmulțireH\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{închisă}\text{ }\allowbreak{}\text{la}\text{ }\allowbreak{}\text{înmulțire}
  3. C. Pentru orice a,b∈H, a⋅b−1∈H\text{Pentru}\text{ }\allowbreak{}\text{orice}\text{ }\allowbreak{}a, b \in H\text{,}\text{ }\allowbreak{}a \cdot b^{-1} \in H
  4. D. ∣H∣=∣G∣|H| = |G|
Rezolvare

Răspuns corect: C. Pentru orice a,b∈H, a⋅b−1∈H\text{Pentru}\text{ }\allowbreak{}\text{orice}\text{ }\allowbreak{}a, b \in H\text{,}\text{ }\allowbreak{}a \cdot b^{-1} \in H

„Criteriul subgrupului în un pas": HH este subgrup dacă și numai dacă este nevidă și a,b∈H⇒ab−1∈Ha, b \in H \Rightarrow a b^{-1} \in H.

Grupuri #6

Prin teorema lui Lagrange, într-un grup finit GG:
  1. A. ordinul orica˘rui element este egal cu ∣G∣\text{ordinul}\text{ }\allowbreak{}\text{oricărui}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{egal}\text{ }\allowbreak{}\text{cu}\text{ }\allowbreak{}|G|
  2. B. ordinul orica˘rui element divide ∣G∣\text{ordinul}\text{ }\allowbreak{}\text{oricărui}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{divide}\text{ }\allowbreak{}|G|
  3. C. ordinul orica˘rui element este prim\text{ordinul}\text{ }\allowbreak{}\text{oricărui}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{prim}
  4. D. ordinul orica˘rui element este egal cu al orica˘rui alt element\text{ordinul}\text{ }\allowbreak{}\text{oricărui}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{egal}\text{ }\allowbreak{}\text{cu}\text{ }\allowbreak{}\text{al}\text{ }\allowbreak{}\text{oricărui}\text{ }\allowbreak{}\text{alt}\text{ }\allowbreak{}\text{element}
Rezolvare

Răspuns corect: B. ordinul orica˘rui element divide ∣G∣\text{ordinul}\text{ }\allowbreak{}\text{oricărui}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{divide}\text{ }\allowbreak{}|G|

Lagrange: într-un grup finit, ordinul oricărui subgrup (și deci ordinul oricărui element, care este ordinul subgrupului ciclic generat de el) divide ∣G∣|G|.

Grupuri #7

Cel mai mic grup neabelian are ordinul:
  1. A. 33
  2. B. 44
  3. C. 66
  4. D. 88
Rezolvare

Răspuns corect: C. 66

S3S_3 (sau echivalent D3D_3) are 66 elemente și este neabelian. Toate grupurile de ordin 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 sunt abeliene.

Grupuri #8

Grupul Klein V4V_4 are proprietatea că:
  1. A. are un element de ordin 4\text{are}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\text{ordin}\text{ }\allowbreak{}4
  2. B. este neabelian\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{neabelian}
  3. C. orice element non-neutru are ordinul 2\text{orice}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{non-neutru}\text{ }\allowbreak{}\text{are}\text{ }\allowbreak{}\text{ordinul}\text{ }\allowbreak{}2
  4. D. este izomorf cu Z4\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{izomorf}\text{ }\allowbreak{}\text{cu}\text{ }\allowbreak{}\mathbb{Z}_4
Rezolvare

Răspuns corect: C. orice element non-neutru are ordinul 2\text{orice}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{non-neutru}\text{ }\allowbreak{}\text{are}\text{ }\allowbreak{}\text{ordinul}\text{ }\allowbreak{}2

În V4V_4, orice element non-neutru are ordinul 22. (Aceasta îl distinge de Z4\mathbb{Z}_4, care are un element de ordin 44.)

Grupuri #9

Ordinul clasei 2^\hat{2} în grupul multiplicativ (Z13∗,⋅)(\mathbb{Z}_{13}^*, \cdot) este:
  1. A. 1212
  2. B. 66
  3. C. 44
  4. D. 33
Rezolvare

Răspuns corect: A. 1212

Cum 1313 este prim, ∣Z13∗∣=12|\mathbb{Z}_{13}^*|=12, deci ordinul lui 2^\hat2 divide 1212. Testăm divizorii lui 1212 în ordine crescătoare: 21=2, 22=4, 23=8, 24=16≡3, 26=64≡12≡−1(mod13)2^1=2,\ 2^2=4,\ 2^3=8,\ 2^4=16\equiv3,\ 2^6=64\equiv12\equiv-1 \pmod{13} Niciunul dintre 21,22,23,24,262^1,2^2,2^3,2^4,2^6 nu este ≡1\equiv1, deci ordinul nu poate fi 1,2,3,41,2,3,4 sau 66. Rămâne singura posibilitate: ordinul este 1212. Verificare: 212=(26)2≡(−1)2=1(mod13)2^{12}=(2^6)^2\equiv(-1)^2=1\pmod{13}, iar niciun divizor propriu al lui 1212 nu a dat 11, deci 2^\hat2 este un generator (rădăcină primitivă) al lui Z13∗\mathbb{Z}_{13}^* ✓.

Grupuri #10

Ordinul elementului 2ˉ\bar{2} în grupul multiplicativ (Z9∗,⋅)(\mathbb{Z}_9^*, \cdot) este egal cu:
  1. A. 66
  2. B. 33
  3. C. 99
  4. D. 88
  5. E. 22
Rezolvare

Răspuns corect: A. 66

Mulțimea Z9∗\mathbb{Z}_9^* conține resturile nenule modulo 99 prime cu 99, adică {1,2,4,5,7,8}\{1,2,4,5,7,8\} (se exclud multiplii lui 33, anume 33 și 66). Așadar ∣Z9∗∣=6|\mathbb{Z}_9^*| = 6. Conform teoremei lui Lagrange, ordinul lui 2ˉ\bar{2} divide 66, deci singurii candidați posibili sunt 1,2,3,61, 2, 3, 6. Se calculează puterile lui 22 modulo 99: 21=2,22=4,23=82^1 = 2, \quad 2^2 = 4, \quad 2^3 = 8 Niciuna dintre aceste puteri nu este congruentă cu 11 modulo 99, deci ordinul nu poate fi 11, 22 sau 33. Rămâne de verificat ultimul candidat: 26=64=7⋅9+1≡1(mod9)2^6 = 64 = 7 \cdot 9 + 1 \equiv 1 \pmod{9} Cum 26≡1(mod9)2^6 \equiv 1 \pmod 9, iar niciun divizor mai mic al lui 66 nu satisface relația, rezultă: ord(2ˉ)=6\mathrm{ord}(\bar{2}) = 6

Grupuri #11

Fie G={(1a01):a∈R}G=\left\{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix} : a\in\mathbb{R}\right\}, cu înmulțirea matricelor drept lege de compoziție; (G,⋅)(G,\cdot) este grup, cu elementul neutru I2I_2 (corespunzător lui a=0a=0). Pentru matricea A=(1101)A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, ordinul lui AA în grupul GG (cel mai mic n≥1n\ge1 natural cu An=I2A^n=I_2) este:
  1. A. o infinitate\text{o}\text{ }\allowbreak{}\text{infinitate}
  2. B. 22
  3. C. 33
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: A. o infinitate\text{o}\text{ }\allowbreak{}\text{infinitate}

Prin inducție: A2=(1101)(1101)=(1201)A^2=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, iar dacă Ak=(1k01)A^k=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}, atunci Ak+1=Ak⋅A=(1k+101)A^{k+1}=A^k\cdot A=\begin{pmatrix}1&k+1\\0&1\end{pmatrix}. Deci An=(1n01)A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix} pentru orice n≥1n\ge1. Cum An=I2=(1001)A^n=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} ar necesita n=0n=0, dar n≥1n\ge1 este natural nenul, nu există niciun n≥1n\ge1 cu An=I2A^n=I_2 — ordinul lui AA este infinit. Verificare: A1,A2,A3,A4A^1,A^2,A^3,A^4 au colțul din dreapta-sus egal cu 1,2,3,41,2,3,4 — șirul crește strict, nu revine niciodată la 00. ✓

Grupuri #12

Pe R∖{1}\mathbb{R}\setminus\{1\} se definește legea x∗y=x+y−xyx*y=x+y-xy (se poate arăta că este asociativă, cu element neutru e=0e=0, deci (R∖{1},∗)(\mathbb{R}\setminus\{1\},*) este grup). Calculați 2∗3∗4∗5∗6∗7∗8∗9∗10∗112*3*4*5*6*7*8*9*10*11 (compunerea calculată în ordine, de la stânga la dreapta).
  1. A. −3628800-3628800
  2. B. 36288003628800
  3. C. −3628799-3628799
  4. D. 36287993628799
Rezolvare

Răspuns corect: C. −3628799-3628799

Fie t(x)=1−xt(x)=1-x. Atunci t(x∗y)=1−(x+y−xy)=(1−x)(1−y)=t(x)⋅t(y)t(x*y)=1-(x+y-xy)=(1-x)(1-y)=t(x)\cdot t(y) — deci tt este un izomorfism între (R∖{1},∗)(\mathbb{R}\setminus\{1\},*) și (R∖{0},⋅)(\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot). Aplicăm izomorfismul lanțului întreg: t(2∗3∗4∗⋯∗11)=t(2)⋅t(3)⋯t(11)=(−1)(−2)(−3)⋯(−10)=(−1)10⋅10!=3628800.t(2*3*4*\cdots*11)=t(2)\cdot t(3)\cdots t(11)=(-1)(-2)(-3)\cdots(-10)=(-1)^{10}\cdot10!=3628800. Deci, notând RR rezultatul căutat, t(R)=3628800⇒1−R=3628800⇒R=1−3628800=−3628799t(R)=3628800\Rightarrow 1-R=3628800\Rightarrow R=1-3628800=-3628799. Verificare prin calcul direct, pas cu pas: 2∗3=2+3−6=−12*3=2+3-6=-1; (−1)∗4=−1+4−(−4)=7(-1)*4=-1+4-(-4)=7; 7∗5=7+5−35=−237*5=7+5-35=-23; (−23)∗6=−23+6+138=121(-23)*6=-23+6+138=121; 121∗7=121+7−847=−719121*7=121+7-847=-719; (−719)∗8=−719+8+5752=5041(-719)*8=-719+8+5752=5041; 5041∗9=5041+9−45369=−403195041*9=5041+9-45369=-40319; (−40319)∗10=−40319+10+403190=362881(-40319)*10=-40319+10+403190=362881; 362881∗11=362881+11−3991691=−3628799362881*11=362881+11-3991691=-3628799 — coincide exact cu rezultatul obținut prin izomorfism. ✓
În aplicațieÎncă 54 exerciții cu grupuriIntră în cont și continui direct de la grupuri — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 12-a