pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 12-a

Exerciții rezolvate cu inele și corpuri — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 37 exerciții rezolvate cu inele și corpuri pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Inele și corpuri #1

Un inel este o mulțime nevidă cu două operații ++ și ⋅\cdot astfel încât:
  1. A. (R,+) este un grup; (R,⋅) este un grup(R, +)\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{grup;}\text{ }\allowbreak{}(R, \cdot)\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{grup}
  2. B. (R,+) este un grup; ⋅ este asociativa˘(R, +)\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{grup;}\text{ }\allowbreak{}\cdot\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{asociativă}
  3. C. (R,+) este un grup abelian; ⋅ este asociativa˘; ⋅ este distributiva˘ fața˘ de +(R, +)\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{grup}\text{ }\allowbreak{}\text{abelian;}\text{ }\allowbreak{}\cdot\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{asociativă;}\text{ }\allowbreak{}\cdot\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{distributivă}\text{ }\allowbreak{}\text{față}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}+
  4. D. (R,+) este un monoid; ⋅ este comutativa˘(R, +)\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{monoid;}\text{ }\allowbreak{}\cdot\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{comutativă}
Rezolvare

Răspuns corect: C. (R,+) este un grup abelian; ⋅ este asociativa˘; ⋅ este distributiva˘ fața˘ de +(R, +)\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{grup}\text{ }\allowbreak{}\text{abelian;}\text{ }\allowbreak{}\cdot\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{asociativă;}\text{ }\allowbreak{}\cdot\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{distributivă}\text{ }\allowbreak{}\text{față}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}+

Un inel: grup abelian față de ++, ⋅\cdot asociativă și distributivitate lui ⋅\cdot față de ++. (Unele definiții cer și existența elementului neutru multiplicativ.)

Inele și corpuri #2

(Z,+,⋅)(\mathbb{Z}, +, \cdot) este:
  1. A. nu este inel\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{inel}
  2. B. un inel comutativ (cu element neutru 1)\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{inel}\text{ }\allowbreak{}\text{comutativ}\text{ }\allowbreak{}\text{(cu}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{neutru}\text{ }\allowbreak{}1\text{)}
  3. C. un corp\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{corp}
  4. D. un inel necomutativ\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{inel}\text{ }\allowbreak{}\text{necomutativ}
Rezolvare

Răspuns corect: B. un inel comutativ (cu element neutru 1)\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{inel}\text{ }\allowbreak{}\text{comutativ}\text{ }\allowbreak{}\text{(cu}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{neutru}\text{ }\allowbreak{}1\text{)}

Aritmetica standard pe Z\mathbb{Z}: este un inel comutativ cu element neutru 11.

Inele și corpuri #3

(Z,+,⋅)(\mathbb{Z}, +, \cdot) are divizori ai lui zero?
  1. A. da, 2⋅0=0\text{da,}\text{ }\allowbreak{}2 \cdot 0 = 0
  2. B. nu, Z este domeniu de integritate\text{nu,}\text{ }\allowbreak{}\mathbb{Z}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{domeniu}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\text{integritate}
  3. C. numai pe numerele ıˆntregi negative\text{numai}\text{ }\allowbreak{}\text{pe}\text{ }\allowbreak{}\text{numerele}\text{ }\allowbreak{}\text{întregi}\text{ }\allowbreak{}\text{negative}
  4. D. numai multiplii lui 6\text{numai}\text{ }\allowbreak{}\text{multiplii}\text{ }\allowbreak{}\text{lui}\text{ }\allowbreak{}6
Rezolvare

Răspuns corect: B. nu, Z este domeniu de integritate\text{nu,}\text{ }\allowbreak{}\mathbb{Z}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{domeniu}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\text{integritate}

În Z\mathbb{Z}, produsul a două numere întregi nenule este nenul — deci Z\mathbb{Z} nu are divizori ai lui zero. Este domeniu de integritate.

Inele și corpuri #4

Un corp este un inel comutativ cu element neutru în care:
  1. A. nu exista˘ divizori ai lui zero\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{există}\text{ }\allowbreak{}\text{divizori}\text{ }\allowbreak{}\text{ai}\text{ }\allowbreak{}\text{lui}\text{ }\allowbreak{}\text{zero}
  2. B. orice element are inversa˘\text{orice}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{are}\text{ }\allowbreak{}\text{inversă}
  3. C. orice element nenul are inversa˘ multiplicativa˘\text{orice}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{nenul}\text{ }\allowbreak{}\text{are}\text{ }\allowbreak{}\text{inversă}\text{ }\allowbreak{}\text{multiplicativă}
  4. D. (R,+)≅(R,⋅)(R, +) \cong (R, \cdot)
Rezolvare

Răspuns corect: C. orice element nenul are inversa˘ multiplicativa˘\text{orice}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{nenul}\text{ }\allowbreak{}\text{are}\text{ }\allowbreak{}\text{inversă}\text{ }\allowbreak{}\text{multiplicativă}

Corp: inel comutativ cu element neutru astfel încât orice element nenul are inversă multiplicativă.

Inele și corpuri #5

(Q,+,⋅)(\mathbb{Q}, +, \cdot) este:
  1. A. un inel, dar nu un corp\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{inel,}\text{ }\allowbreak{}\text{dar}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{corp}
  2. B. un corp, dar nu un inel\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{corp,}\text{ }\allowbreak{}\text{dar}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{inel}
  3. C. un corp\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{corp}
  4. D. numai un grup fața˘ de +\text{numai}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{grup}\text{ }\allowbreak{}\text{față}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}+
Rezolvare

Răspuns corect: C. un corp\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{corp}

Q\mathbb{Q} satisface toate axiomele unui corp — orice rațional nenul are un invers rațional. Este corp.

Inele și corpuri #6

Z5\mathbb{Z}_5 este:
  1. A. un inel, dar nu un corp (are divizori ai lui zero)\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{inel,}\text{ }\allowbreak{}\text{dar}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{corp}\text{ }\allowbreak{}\text{(are}\text{ }\allowbreak{}\text{divizori}\text{ }\allowbreak{}\text{ai}\text{ }\allowbreak{}\text{lui}\text{ }\allowbreak{}\text{zero)}
  2. B. un inel necomutativ\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{inel}\text{ }\allowbreak{}\text{necomutativ}
  3. C. un corp\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{corp}
  4. D. numai un grup abelian\text{numai}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{grup}\text{ }\allowbreak{}\text{abelian}
Rezolvare

Răspuns corect: C. un corp\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{corp}

55 este prim, deci Z5\mathbb{Z}_5 este corp. (Orice element nenul are inversă multiplicativă.)

Inele și corpuri #7

Z6\mathbb{Z}_6 NU este corp deoarece:
  1. A. nu este inel\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{inel}
  2. B. nu are element neutru\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{are}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{neutru}
  3. C. are divizori ai lui zero (de exemplu, 2^⋅3^=0^)\text{are}\text{ }\allowbreak{}\text{divizori}\text{ }\allowbreak{}\text{ai}\text{ }\allowbreak{}\text{lui}\text{ }\allowbreak{}\text{zero}\text{ }\allowbreak{}\text{(de}\text{ }\allowbreak{}\text{exemplu,}\text{ }\allowbreak{}\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}\text{)}
  4. D. este finit\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{finit}
Rezolvare

Răspuns corect: C. are divizori ai lui zero (de exemplu, 2^⋅3^=0^)\text{are}\text{ }\allowbreak{}\text{divizori}\text{ }\allowbreak{}\text{ai}\text{ }\allowbreak{}\text{lui}\text{ }\allowbreak{}\text{zero}\text{ }\allowbreak{}\text{(de}\text{ }\allowbreak{}\text{exemplu,}\text{ }\allowbreak{}\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}\text{)}

2^⋅3^=6^=0^\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{6} = \hat{0} cu 2^,3^≠0^\hat{2}, \hat{3} \ne \hat{0} — divizori ai lui zero. Un corp nu are divizori ai lui zero, deci Z6\mathbb{Z}_6 nu este corp. (Echivalent, 66 este compus.)

Inele și corpuri #8

(M2(R),+,⋅)(M_2(\mathbb{R}), +, \cdot) este:
  1. A. un corp\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{corp}
  2. B. un inel comutativ\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{inel}\text{ }\allowbreak{}\text{comutativ}
  3. C. un inel necomutativ cu element neutru\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{inel}\text{ }\allowbreak{}\text{necomutativ}\text{ }\allowbreak{}\text{cu}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{neutru}
  4. D. nu este inel\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{inel}
Rezolvare

Răspuns corect: C. un inel necomutativ cu element neutru\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{inel}\text{ }\allowbreak{}\text{necomutativ}\text{ }\allowbreak{}\text{cu}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{neutru}

Matricele formează un inel (cu matricea nulă și matricea unitate), dar înmulțirea este necomutativă pentru n≥2n \ge 2. Este un inel necomutativ cu element neutru.

Inele și corpuri #9

Mulțimea unităților (elementelor multiplicativ inversabile) ale lui Z8\mathbb{Z}_8 este:
  1. A. {0^}\{\hat{0}\}
  2. B. {1^,2^,3^}\{\hat{1}, \hat{2}, \hat{3}\}
  3. C. {1^,3^,5^,7^}\{\hat{1}, \hat{3}, \hat{5}, \hat{7}\}
  4. D. Z8∖{0^}\mathbb{Z}_8 \setminus \{\hat{0}\}
Rezolvare

Răspuns corect: C. {1^,3^,5^,7^}\{\hat{1}, \hat{3}, \hat{5}, \hat{7}\}

Unitățile sunt resturile coprime cu 88: {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\}, patru elemente.

Inele și corpuri #10

Numărul elementelor idempotente ale inelului (Z12,+,⋅)(\mathbb{Z}_{12},+,\cdot) (adică al claselor x^\hat x cu x2≡x(mod12)x^2\equiv x\pmod{12}) este:
  1. A. 44
  2. B. 22
  3. C. 66
  4. D. 33
Rezolvare

Răspuns corect: A. 44

Testăm direct: 02=00^2=0 ✓; 12=11^2=1 ✓; 42=16≡44^2=16\equiv4 ✓; 92=81≡99^2=81\equiv9 ✓ (celelalte nu verifică — de exemplu 32=9≠33^2=9\ne3, 62=36≡0≠66^2=36\equiv0\ne6). Elementele idempotente sunt {0^,1^,4^,9^}\{\hat0,\hat1,\hat4,\hat9\}, deci 44 la număr. (Acest rezultat este consistent cu izomorfismul Z12≅Z4×Z3\mathbb{Z}_{12}\cong\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_3 dat de teorema chineză a resturilor: numărul idempotenților unui produs de inele este 2numa˘rul factorilor=22=42^{\text{numărul factorilor}}=2^2=4.) Verificare: 42=16=12+4≡4(mod12)4^2=16=12+4\equiv4\pmod{12} și 92=81=72+9≡9(mod12)9^2=81=72+9\equiv9\pmod{12}, confirmă direct cele 44 soluții găsite. ✓

Inele și corpuri #11

Dintre valorile n∈{91,111,121,127}n\in\{91,111,121,127\}, inelul (Zn,+,⋅)(\mathbb{Z}_n,+,\cdot) este corp pentru:
  1. A. 9191
  2. B. 127127
  3. C. 121121
  4. D. 111111
Rezolvare

Răspuns corect: B. 127127

Verificăm fiecare valoare: 91=7⋅1391=7\cdot13 (compus), 111=3⋅37111=3\cdot37 (compus), 121=112121=11^2 (compus), iar 127127 nu se divide cu niciun număr prim ≤127≈11,3\le\sqrt{127}\approx11{,}3 (adică 2,3,5,7,112,3,5,7,11): 127127 este impar, cifra sumă 1+2+7=101+2+7=10 nu se divide cu 33, nu se termină în 00/55, 127/7≈18,1127/7\approx18{,}1, 127/11≈11,5127/11\approx11{,}5 — deci 127127 este prim. Singura valoare pentru care Zn\mathbb{Z}_n este corp (toate elementele nenule inversabile) este n=127n=127. Verificare: pentru n=91n=91, elementul 7^\hat7 nu e inversabil (căci gcd⁡(7,91)=7≠1\gcd(7,91)=7\ne1) — deci Z91\mathbb{Z}_{91} nu e corp; analog 3^∣111\hat3\mid111 și 11^∣121\hat{11}\mid121 arată că nici Z111\mathbb{Z}_{111}, nici Z121\mathbb{Z}_{121} nu sunt corpuri. ✓

Inele și corpuri #12

Numărul soluțiilor ecuației x^2=1^\hat{x}^2 = \hat{1} în inelul (Z24,+,⋅)(\mathbb{Z}_{24}, +, \cdot) este:
  1. A. 88
  2. B. 44
  3. C. 22
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: A. 88

Descompunem 24=8⋅324 = 8\cdot 3, cu gcd⁡(8,3)=1\gcd(8,3)=1. Prin Teorema Chinezească a Resturilor, Z24≅Z8×Z3\mathbb{Z}_{24} \cong \mathbb{Z}_8 \times \mathbb{Z}_3 ca inele, deci ecuația x2≡1x^2\equiv 1 se rezolvă independent pe fiecare factor, iar numărul total de soluții este produsul numărului de soluții pe fiecare componentă. **Modulo 33:** verificăm x∈{0,1,2}x\in\{0,1,2\}: 02=00^2=0, 12=11^2=1, 22=4≡12^2=4\equiv1. Soluții: {1,2}\{1,2\} — **22 soluții**. **Modulo 88:** verificăm x∈{0,…,7}x\in\{0,\dots,7\}: 12=11^2=1, 32=9≡13^2=9\equiv1, 52=25≡15^2=25\equiv1, 72=49≡17^2=49\equiv1, iar 02=0,22=4,42=16≡0,62=36≡40^2=0,2^2=4,4^2=16\equiv0,6^2=36\equiv4. Soluții: {1,3,5,7}\{1,3,5,7\} — **44 soluții** (nu doar 22, pentru că 8=238=2^3 are grupul de unități U(Z8)≅Z2×Z2U(\mathbb{Z}_8)\cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2, necilic, cu 44 elemente de ordin cel mult 22). Numărul total de soluții modulo 2424 este: 4×2=84 \times 2 = 8 Verificare prin enumerare directă modulo 2424: testând x=0,…,23x=0,\dots,23, mulțimea soluțiilor lui x2≡1(mod24)x^2\equiv1\pmod{24} este {1,5,7,11,13,17,19,23}\{1,5,7,11,13,17,19,23\} — exact 88 valori. Se observă că nu se aplică formula simplificată 2ω(24)=22=42^{\omega(24)}=2^2=4 (validă doar pentru nn impar), tocmai pentru că 2424 este divizibil cu 88.
În aplicațieÎncă 25 exerciții cu inele și corpuriIntră în cont și continui direct de la inele și corpuri — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 12-a