pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 12-a

Exerciții rezolvate cu legi de compoziție — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 76 exerciții rezolvate cu legi de compoziție pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Legi de compoziție #1

O lege de compoziție pe o mulțime MM este o funcție:
  1. A. M→MM \to M
  2. B. M→M×MM \to M \times M
  3. C. M×M→MM \times M \to M
  4. D. M→RM \to \mathbb{R}
Rezolvare

Răspuns corect: C. M×M→MM \times M \to M

O lege de compoziție asociază două elemente din MM pentru a produce un al treilea element din MM: ∗:M×M→M* : M \times M \to M.

Legi de compoziție #2

Pe R\mathbb{R}, definim x∗y=x+y−2x * y = x + y - 2. Atunci 3∗53 * 5 este egal cu:
  1. A. 33
  2. B. 55
  3. C. 66
  4. D. 1010
Rezolvare

Răspuns corect: C. 66

3∗5=3+5−2=63 * 5 = 3 + 5 - 2 = 6.

Legi de compoziție #3

Pentru operația x∗y=x+y−3x * y = x + y - 3 pe R\mathbb{R}, elementul neutru este:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 33
  4. D. −3-3
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33

x+e−3=x⇒e=3x + e - 3 = x \Rightarrow e = 3.

Legi de compoziție #4

Pentru x∗y=x+y−3x * y = x + y - 3 pe R\mathbb{R} (cu elementul neutru e=3e = 3), elementul simetric al lui 55 este:
  1. A. 11
  2. B. −5-5
  3. C. −2-2
  4. D. 55
Rezolvare

Răspuns corect: A. 11

5+y−3=3⇒y=15 + y - 3 = 3 \Rightarrow y = 1.

Legi de compoziție #5

Pe R\mathbb{R}, operația x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy este:
  1. A. asociativa˘\text{asociativă}
  2. B. neasociativa˘\text{neasociativă}
  3. C. comutativa˘ dar neasociativa˘\text{comutativă}\text{ }\allowbreak{}\text{dar}\text{ }\allowbreak{}\text{neasociativă}
  4. D. nici comutativa˘, nici asociativa˘\text{nici}\text{ }\allowbreak{}\text{comutativă,}\text{ }\allowbreak{}\text{nici}\text{ }\allowbreak{}\text{asociativă}
Rezolvare

Răspuns corect: A. asociativa˘\text{asociativă}

(x∗y)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x * y) * z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz. Prin simetrie, x∗(y∗z)x * (y * z) dă aceeași expresie. Deci legea este asociativă.

Legi de compoziție #6

Pe C\mathbb{C}, definim z1∘z2=z1+z2−12z1‾−12z2‾z_1 \circ z_2 = z_1 + z_2 - \dfrac{1}{2}\overline{z_1} - \dfrac{1}{2}\overline{z_2}. Mulțimea H={2+bi∣b∈R}H = \{2 + bi \mid b \in \mathbb{R}\} este:
  1. A. stabila˘ fața˘ de ∘\text{stabilă}\text{ }\allowbreak{}\text{față}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\circ
  2. B. nestabila˘ fața˘ de ∘\text{nestabilă}\text{ }\allowbreak{}\text{față}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\circ
  3. C. stabila˘ doar caˆnd b=0\text{stabilă}\text{ }\allowbreak{}\text{doar}\text{ }\allowbreak{}\text{când}\text{ }\allowbreak{}b = 0
  4. D. ıˆntotdeauna egala˘ cu C\text{întotdeauna}\text{ }\allowbreak{}\text{egală}\text{ }\allowbreak{}\text{cu}\text{ }\allowbreak{}\mathbb{C}
Rezolvare

Răspuns corect: A. stabila˘ fața˘ de ∘\text{stabilă}\text{ }\allowbreak{}\text{față}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\circ

Pentru z1=2+b1iz_1 = 2 + b_1 i și z2=2+b2iz_2 = 2 + b_2 i: zj‾=2−bji\overline{z_j} = 2 - b_j i. Calculăm: z1∘z2=(2+b1i)+(2+b2i)−12(2−b1i)−12(2−b2i)=4+(b1+b2)i−2+b1+b22i=2+3(b1+b2)2i∈Hz_1 \circ z_2 = (2 + b_1 i) + (2 + b_2 i) - \dfrac{1}{2}(2 - b_1 i) - \dfrac{1}{2}(2 - b_2 i) = 4 + (b_1 + b_2)i - 2 + \dfrac{b_1 + b_2}{2} i = 2 + \dfrac{3(b_1 + b_2)}{2} i \in H. Deci HH este stabilă.

Legi de compoziție #7

Pe mulțimea putere P(X)\mathcal{P}(X), diferența simetrică A△B=(A∖B)∪(B∖A)A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) are elementul neutru:
  1. A. ∅\emptyset
  2. B. XX
  3. C. {x} pentru un x∈X\{x\}\text{ }\allowbreak{}\text{pentru}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}x \in X
  4. D. nu exista˘ element neutru\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{există}\text{ }\allowbreak{}\text{element}\text{ }\allowbreak{}\text{neutru}
Rezolvare

Răspuns corect: A. ∅\emptyset

A△∅=AA \triangle \emptyset = A, deci ∅\emptyset este elementul neutru.

Legi de compoziție #8

Pe P(X)\mathcal{P}(X) cu diferența simetrică, elementul simetric al oricărei mulțimi AA este:
  1. A. A ıˆnsușiA\text{ }\allowbreak{}\text{însuși}
  2. B. X∖AX \setminus A
  3. C. ∅\emptyset
  4. D. XX
Rezolvare

Răspuns corect: A. A ıˆnsușiA\text{ }\allowbreak{}\text{însuși}

Fiecare element este propriul său simetric: A△A=∅A \triangle A = \emptyset.

Legi de compoziție #9

Pe R\mathbb{R} se definește legea x∗y=(x−a)(y−a)+ax*y=(x-a)(y-a)+a, unde a∈Ra\in\mathbb{R} este un parametru. Știind că elementul neutru al legii este e=5e=5, valoarea lui aa este:
  1. A. 55
  2. B. 66
  3. C. 33
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: D. 44

Elementul neutru ee verifică (e−a)(x−a)+a=x(e-a)(x-a)+a=x pentru orice xx, de unde e−a=1e-a=1, adică e=a+1e=a+1. Din e=5e=5 rezultă a=4a=4. Verificare: pentru a=4a=4, legea este (x−4)(y−4)+4(x-4)(y-4)+4, iar (5−4)(x−4)+4=x−4+4=x(5-4)(x-4)+4=x-4+4=x, deci 55 este într-adevăr elementul neutru. ✓

Legi de compoziție #10

Pe R\mathbb{R} se definește legea x∗y=(x−1)(y−1)+1x*y=(x-1)(y-1)+1. Pentru x=4x=4, valoarea lui x∗x∗x∗x∗xx*x*x*x*x (compunerea lui 44 cu el însuși, de 55 ori) este:
  1. A. 8282
  2. B. 243243
  3. C. 244244
  4. D. 1616
Rezolvare

Răspuns corect: C. 244244

Verificăm inductiv: x(2)=(x−1)(x−1)+1=1+(x−1)2x^{(2)}=(x-1)(x-1)+1=1+(x-1)^2. Presupunând x(k)=1+(x−1)kx^{(k)}=1+(x-1)^k, obținem x(k+1)=(x(k)−1)(x−1)+1=(x−1)k(x−1)+1=1+(x−1)k+1.x^{(k+1)}=\big(x^{(k)}-1\big)(x-1)+1=(x-1)^k(x-1)+1=1+(x-1)^{k+1}. Deci x(n)=1+(x−1)nx^{(n)}=1+(x-1)^n pentru orice n≥1n\ge1. Pentru x=4x=4, n=5n=5: x(5)=1+35=1+243=244.x^{(5)}=1+3^5=1+243=244. Verificare: calcul direct pas cu pas — 4(2)=(4−1)(4−1)+1=104^{(2)}=(4-1)(4-1)+1=10, 4(3)=(10−1)(4−1)+1=284^{(3)}=(10-1)(4-1)+1=28, 4(4)=(28−1)(4−1)+1=824^{(4)}=(28-1)(4-1)+1=82, 4(5)=(82−1)(4−1)+1=2444^{(5)}=(82-1)(4-1)+1=244 — coincide cu formula. ✓

Legi de compoziție #11

Pe mulțimea M={fa,b:R→R∣fa,b(x)=ax+b, a∈{1,−1}, b∈{−2,−1,0,1,2}}M=\{f_{a,b}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f_{a,b}(x)=ax+b,\ a\in\{1,-1\},\ b\in\{-2,-1,0,1,2\}\} se consideră operația de compunere a funcțiilor ∘\circ. Se știe că (M,∘)(M,\circ) este monoid necomutativ. Numărul elementelor idempotente ale lui MM (adică al funcțiilor ff cu f∘f=ff\circ f=f) este:
  1. A. 1010
  2. B. 55
  3. C. 22
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: D. 11

Condiția fa,b∘fa,b=fa,bf_{a,b}\circ f_{a,b}=f_{a,b} revine la sistemul a2=aa^2=a și ab+b=bab+b=b. Pentru a=−1a=-1: a2=1≠a=−1a^2=1\ne a=-1, deci nicio valoare a lui bb nu convine — ramura a=−1a=-1 nu produce idempotenți. Pentru a=1a=1: a2=1=aa^2=1=a ✓, iar ab+b=b⇒b+b=b⇒b=0ab+b=b\Rightarrow b+b=b\Rightarrow b=0. Singura funcție idempotentă este f1,0(x)=xf_{1,0}(x)=x (identitatea), cu b=0∈{−2,−1,0,1,2}b=0\in\{-2,-1,0,1,2\}. Numărul elementelor idempotente este 11. Verificare: pentru f1,0f_{1,0}, f1,0∘f1,0(x)=x=f1,0(x)f_{1,0}\circ f_{1,0}(x)=x=f_{1,0}(x) ✓. Pentru orice altă funcție din MM, de exemplu f−1,2(x)=−x+2f_{-1,2}(x)=-x+2, avem f−1,2∘f−1,2(x)=−(−x+2)+2=x≠−x+2=f−1,2(x)f_{-1,2}\circ f_{-1,2}(x)=-(-x+2)+2=x\ne-x+2=f_{-1,2}(x) (pentru xx generic), deci nu e idempotentă. ✓

Legi de compoziție #12

Pe R\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=(x−2)(y−2)+2x \ast y = (x-2)(y-2) + 2. Simetricul elementului x=5x = 5 față de legea ∗\ast este:
  1. A. 5/35/3
  2. B. 7/37/3
  3. C. 1/31/3
  4. D. 33
Rezolvare

Răspuns corect: B. 7/37/3

Determinăm întâi elementul neutru ee: din (x−2)(e−2)+2=x(x-2)(e-2)+2 = x pentru orice xx, rezultă e−2=1e-2=1, deci e=3e=3. Simetricul x′x' al lui x=5x=5 verifică x∗x′=ex \ast x' = e: (5−2)(x′−2)+2=3  ⟹  3(x′−2)=1  ⟹  x′−2=13(5-2)(x'-2) + 2 = 3 \implies 3(x'-2) = 1 \implies x' - 2 = \frac{1}{3} x′=2+13=73x' = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} Verificare: (5−2)(73−2)+2=3⋅13+2=1+2=3=e(5-2)\left(\frac{7}{3}-2\right)+2 = 3\cdot\frac{1}{3}+2 = 1+2 = 3 = e. ✓
În aplicațieÎncă 64 exerciții cu legi de compozițieIntră în cont și continui direct de la legi de compoziție — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 12-a