pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 12-a

Exerciții rezolvate cu morfisme — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 37 exerciții rezolvate cu morfisme pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Morfisme #1

Un morfism de grupuri φ:(G,⋅)→(H,∗)\varphi: (G, \cdot) \to (H, *) este o funcție astfel încât pentru orice a,b∈Ga, b \in G:
  1. A. φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)
  2. B. φ(ab)=a∗b\varphi(ab) = a * b
  3. C. φ(a⋅b)=φ(a)∗φ(b)\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b)
  4. D. φ este bijectiva˘\varphi\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{bijectivă}
Rezolvare

Răspuns corect: C. φ(a⋅b)=φ(a)∗φ(b)\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b)

Un morfism păstrează operația: φ(a⋅b)=φ(a)∗φ(b)\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b).

Morfisme #2

Un izomorfism este un morfism care este:
  1. A. doar injectiv\text{doar}\text{ }\allowbreak{}\text{injectiv}
  2. B. doar surjectiv\text{doar}\text{ }\allowbreak{}\text{surjectiv}
  3. C. bijectiv\text{bijectiv}
  4. D. are nucleu trivial\text{are}\text{ }\allowbreak{}\text{nucleu}\text{ }\allowbreak{}\text{trivial}
Rezolvare

Răspuns corect: C. bijectiv\text{bijectiv}

Un izomorfism este un morfism bijectiv. (Echivalent, un morfism a cărui inversă este de asemenea un morfism.)

Morfisme #3

Pentru un morfism de grupuri φ:G→H\varphi: G \to H și a∈Ga \in G:
  1. A. φ(a−1)=φ(a)\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)
  2. B. φ(a−1)=e\varphi(a^{-1}) = e
  3. C. φ(a−1)=φ(a)−1\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}
  4. D. φ(a−1)=−φ(a)\varphi(a^{-1}) = -\varphi(a)
Rezolvare

Răspuns corect: C. φ(a−1)=φ(a)−1\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}

Aplicăm φ\varphi la a⋅a−1=ea \cdot a^{-1} = e: φ(a)φ(a−1)=eH\varphi(a)\varphi(a^{-1}) = e_H, deci φ(a−1)=φ(a)−1\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}.

Morfisme #4

Aplicația φ:(Z,+)→(Zn,+)\varphi: (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}_n, +) definită prin φ(k)=k^\varphi(k) = \hat{k} este:
  1. A. nu este morfism\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{morfism}
  2. B. un morfism, injectiv, nesurjectiv\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{morfism,}\text{ }\allowbreak{}\text{injectiv,}\text{ }\allowbreak{}\text{nesurjectiv}
  3. C. un morfism surjectiv (neinjectiv)\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{morfism}\text{ }\allowbreak{}\text{surjectiv}\text{ }\allowbreak{}\text{(neinjectiv)}
  4. D. un izomorfism\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{izomorfism}
Rezolvare

Răspuns corect: C. un morfism surjectiv (neinjectiv)\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{morfism}\text{ }\allowbreak{}\text{surjectiv}\text{ }\allowbreak{}\text{(neinjectiv)}

φ\varphi este surjectivă (orice k^\hat{k} are kk ca preimage) și morfism. Dar φ(0)=φ(n)=0^\varphi(0) = \varphi(n) = \hat{0}, deci nu este injectivă.

Morfisme #5

Nucleul unui morfism de grupuri φ:G→H\varphi: G \to H este:
  1. A. {a∈G∣φ(a)=a}\{a \in G \mid \varphi(a) = a\}
  2. B. {φ(a)∣a∈G}\{\varphi(a) \mid a \in G\}
  3. C. {a∈G∣φ(a)=eH}\{a \in G \mid \varphi(a) = e_H\}
  4. D. {a∈G∣a=eG}\{a \in G \mid a = e_G\}
Rezolvare

Răspuns corect: C. {a∈G∣φ(a)=eH}\{a \in G \mid \varphi(a) = e_H\}

ker⁡φ=φ−1({eH})={a∈G∣φ(a)=eH}\ker \varphi = \varphi^{-1}(\{e_H\}) = \{a \in G \mid \varphi(a) = e_H\}.

Morfisme #6

Un morfism de grupuri φ\varphi este injectiv dacă și numai dacă:
  1. A. ker⁡φ=G\ker\varphi = G
  2. B. φ este surjectiv\varphi\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{surjectiv}
  3. C. ker⁡φ={eG}\ker\varphi = \{e_G\}
  4. D. ∣G∣=∣H∣|G| = |H|
Rezolvare

Răspuns corect: C. ker⁡φ={eG}\ker\varphi = \{e_G\}

Un morfism este injectiv dacă și numai dacă nucleul său este trivial.

Morfisme #7

Aplicația φ:(R,+)→((0,∞),⋅)\varphi: (\mathbb{R}, +) \to ((0, \infty), \cdot) definită prin φ(x)=ex\varphi(x) = e^x este:
  1. A. nu este morfism\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{morfism}
  2. B. un morfism neinjectiv\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{morfism}\text{ }\allowbreak{}\text{neinjectiv}
  3. C. injectiv dar nesurjectiv\text{injectiv}\text{ }\allowbreak{}\text{dar}\text{ }\allowbreak{}\text{nesurjectiv}
  4. D. un izomorfism\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{izomorfism}
Rezolvare

Răspuns corect: D. un izomorfism\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{izomorfism}

ea+b=eaebe^{a + b} = e^a e^b ✓ (morfism). exe^x este strict crescătoare (injectivă) și surjectivă pe (0,∞)(0, \infty). Deci este un izomorfism. (Inversa: ln⁡\ln.)

Morfisme #8

Un morfism de inele φ:R→S\varphi: R \to S trebuie să satisfacă:
  1. A. doar φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\text{doar}\text{ }\allowbreak{}\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)
  2. B. doar φ(ab)=φ(a)φ(b)\text{doar}\text{ }\allowbreak{}\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)
  3. C. ataˆt φ(a+b)=φ(a)+φ(b), caˆt și φ(ab)=φ(a)φ(b)\text{atât}\text{ }\allowbreak{}\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)\text{,}\text{ }\allowbreak{}\text{cât}\text{ }\allowbreak{}\text{și}\text{ }\allowbreak{}\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)
  4. D. φ este bijectiva˘\varphi\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{bijectivă}
Rezolvare

Răspuns corect: C. ataˆt φ(a+b)=φ(a)+φ(b), caˆt și φ(ab)=φ(a)φ(b)\text{atât}\text{ }\allowbreak{}\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)\text{,}\text{ }\allowbreak{}\text{cât}\text{ }\allowbreak{}\text{și}\text{ }\allowbreak{}\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)

Un morfism de inele păstrează ambele operații: adunarea ȘI înmulțirea.

Morfisme #9

Fie f:(Z,+)→(Z12,+)f:(\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{Z}_{12},+), f(x)=4x^f(x)=\widehat{4x} (clasa lui 4x4x modulo 1212). Numărul elementelor mulțimii {0,1,2,…,11}\{0,1,2,\dots,11\} care aparțin nucleului lui ff este:
  1. A. 33
  2. B. 11
  3. C. 1212
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: D. 44

4x≡0(mod12) ⇔ x≡0(mod3)4x\equiv0\pmod{12}\ \Leftrightarrow\ x\equiv0\pmod3 (deoarece 12/gcd⁡(4,12)=12/4=312/\gcd(4,12)=12/4=3). În {0,1,…,11}\{0,1,\dots,11\}, multiplii lui 33 sunt 0,3,6,90,3,6,9 — deci 44 elemente. Verificare: 4⋅0=04\cdot0=0, 4⋅3=12≡04\cdot3=12\equiv0, 4⋅6=24≡04\cdot6=24\equiv0, 4⋅9=36≡0(mod12)4\cdot9=36\equiv0\pmod{12}; în schimb, de exemplu, 4⋅1=4≢04\cdot1=4\not\equiv0. ✓

Morfisme #10

Dacă două grupuri finite sunt izomorfe, atunci ele au în mod obligatoriu:
  1. A. același numa˘r de elemente\text{același}\text{ }\allowbreak{}\text{număr}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\text{elemente}
  2. B. aceleași elemente\text{aceleași}\text{ }\allowbreak{}\text{elemente}
  3. C. aceeași lege de compoziție\text{aceeași}\text{ }\allowbreak{}\text{lege}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\text{compoziție}
  4. D. aceeași mulțime suport\text{aceeași}\text{ }\allowbreak{}\text{mulțime}\text{ }\allowbreak{}\text{suport}
Rezolvare

Răspuns corect: A. același numa˘r de elemente\text{același}\text{ }\allowbreak{}\text{număr}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\text{elemente}

Un izomorfism este bijectiv, deci cele două grupuri au același ordin (același număr de elemente). ✓ Ele pot avea însă elemente și legi complet diferite — de exemplu (Z4,+)\left(\mathbb Z_4,+\right) și grupul {1,i,−1,−i}\left\{1,i,-1,-i\right\} cu înmulțirea numerelor complexe sunt izomorfe, deși elementele nu seamănă deloc. (Egalitatea ordinelor este necesară, dar nu suficientă: Z4\mathbb Z_4 și grupul lui Klein au ambele 44 elemente, dar nu sunt izomorfe.)

Morfisme #11

Fie morfismele fc:(Z7,+)→(Z7,+)f_c:(\mathbb{Z}_7,+)\to(\mathbb{Z}_7,+), fc(x)=cx^f_c(x)=\widehat{cx}, unde c∈{0,1,…,6}c\in\{0,1,\dots,6\}. Numărul valorilor lui cc pentru care fcf_c este injectiv este:
  1. A. 77
  2. B. 11
  3. C. 33
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: D. 66

fcf_c este injectiv ⇔ker⁡fc={0^}⇔\Leftrightarrow\ker f_c=\{\hat0\}\Leftrightarrow ecuația cx≡0(mod7)cx\equiv0\pmod7 are doar soluția x=0⇔gcd⁡(c,7)=1x=0\Leftrightarrow\gcd(c,7)=1 (adică cc inversabil modulo 77). Cum 77 este prim, toate valorile c∈{1,2,3,4,5,6}c\in\{1,2,3,4,5,6\} sunt inversabile (coprime cu 77); doar c=0c=0 dă morfismul nul, care nu e injectiv (are nucleu Z7\mathbb{Z}_7 întreg). Deci există 66 valori ale lui cc pentru care fcf_c e injectiv. Verificare directă: pentru c=2c=2, imaginile {2⋅0,…,2⋅6} mod 7={0,2,4,6,1,3,5}\{2\cdot0,\dots,2\cdot6\}\bmod7=\{0,2,4,6,1,3,5\} — toate cele 77 valori distincte, deci injectiv; pentru c=0c=0, toate imaginile sunt 00 — nu e injectiv. ✓

Morfisme #12

Numărul morfismelor INJECTIVE f:(Z8,+)→(Z24,+)f:(\mathbb{Z}_8,+)\to(\mathbb{Z}_{24},+) este:
  1. A. 44
  2. B. 88
  3. C. 11
  4. D. 22
Rezolvare

Răspuns corect: A. 44

Pasul 1 — toate morfismele. fc(x)=cx^f_c(x)=\widehat{cx} e bine definit dacă 8c≡0(mod24)8c\equiv0\pmod{24}, adică (împărțind prin gcd⁡(8,24)=8\gcd(8,24)=8) c≡0(mod3)c\equiv0\pmod3. Valorile posibile: c∈{0,3,6,9,12,15,18,21}c\in\{0,3,6,9,12,15,18,21\} — 88 morfisme, confirmând gcd⁡(8,24)=8\gcd(8,24)=8. Pasul 2 — care sunt injective. fcf_c e injectiv pe Z8\mathbb{Z}_8 dacă și numai dacă c,2c,…,7cc,2c,\dots,7c sunt toate nenule modulo 2424, adică ordinul lui cc în (Z24,+)(\mathbb{Z}_{24},+) este exact 88 (la fel ca ordinul lui 1^\hat1 în Z8\mathbb{Z}_8). Ordinul lui cc este 24/gcd⁡(c,24)24/\gcd(c,24); cerem 24/gcd⁡(c,24)=8⇔gcd⁡(c,24)=324/\gcd(c,24)=8\Leftrightarrow\gcd(c,24)=3. Verificăm cele 88 valori: gcd⁡(3,24)=3\gcd(3,24)=3✓, gcd⁡(6,24)=6\gcd(6,24)=6✗, gcd⁡(9,24)=3\gcd(9,24)=3✓, gcd⁡(12,24)=12\gcd(12,24)=12✗, gcd⁡(15,24)=3\gcd(15,24)=3✓, gcd⁡(18,24)=6\gcd(18,24)=6✗, gcd⁡(21,24)=3\gcd(21,24)=3✓, gcd⁡(0,24)=24\gcd(0,24)=24✗. Rămân c∈{3,9,15,21}c\in\{3,9,15,21\} — exact 44 valori, iar φ(8)=4\varphi(8)=4 confirmă rezultatul (numărul generatorilor unicului subgrup de ordin 88 al lui Z24\mathbb{Z}_{24}). ✓
În aplicațieÎncă 25 exerciții cu morfismeIntră în cont și continui direct de la morfisme — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 12-a