pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 6-a

Exerciții rezolvate cu triunghiuri — clasa a 6-a

Pe această pagină găsești 16 exerciții rezolvate cu triunghiuri pentru clasa a 6-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de Evaluare Națională. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Triunghiuri #1

Într-un triunghi, două unghiuri au măsurile 55∘55^\circ și 65∘65^\circ. Al treilea unghi are măsura:
  1. A. 70∘70^\circ
  2. B. 120∘120^\circ
  3. C. 60∘60^\circ
  4. D. 55∘55^\circ
Rezolvare

Răspuns corect: C. 60∘60^\circ

180∘−55∘−65∘=60∘.180^\circ-55^\circ-65^\circ=60^\circ. ✓ (Capcana 120∘120^\circ este chiar suma celor două unghiuri date, nu al treilea unghi.)

Triunghiuri #2

Există un triunghi cu unghiurile de 60∘60^\circ, 70∘70^\circ și 60∘60^\circ?
  1. A. nu, fiindca˘ suma nu este 180∘\text{nu,}\text{ }\allowbreak{}\text{fiindcă}\text{ }\allowbreak{}\text{suma}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}180^\circ
  2. B. da, este isoscel\text{da,}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{isoscel}
  3. C. da, este echilateral\text{da,}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{echilateral}
  4. D. nu, fiindca˘ un triunghi nu poate avea doua˘ unghiuri egale\text{nu,}\text{ }\allowbreak{}\text{fiindcă}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{triunghi}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{poate}\text{ }\allowbreak{}\text{avea}\text{ }\allowbreak{}\text{două}\text{ }\allowbreak{}\text{unghiuri}\text{ }\allowbreak{}\text{egale}
Rezolvare

Răspuns corect: A. nu, fiindca˘ suma nu este 180∘\text{nu,}\text{ }\allowbreak{}\text{fiindcă}\text{ }\allowbreak{}\text{suma}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}180^\circ

60∘+70∘+60∘=190∘≠180∘,60^\circ+70^\circ+60^\circ=190^\circ\ne 180^\circ, deci un astfel de triunghi nu există. ✓ (Un triunghi poate avea două unghiuri egale — atunci este isoscel — deci ultima variantă este falsă din alt motiv.)

Triunghiuri #3

În triunghiurile ABCABC și DEFDEF se știe că AB=DEAB=DE, AC=DFAC=DF și A^≡D^\widehat{A}\equiv\widehat{D}. Triunghiurile sunt congruente conform cazului:
  1. A. U.L.U.\text{U.L.U.}
  2. B. L.U.L.\text{L.U.L.}
  3. C. L.L.L.\text{L.L.L.}
  4. D. nu se poate decide\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{se}\text{ }\allowbreak{}\text{poate}\text{ }\allowbreak{}\text{decide}
Rezolvare

Răspuns corect: B. L.U.L.\text{L.U.L.}

Laturile date sunt ABAB și ACAC, iar unghiul A^\widehat A este chiar unghiul cuprins între ele (la fel în al doilea triunghi: DEDE, DFDF și D^\widehat D). Acesta este exact cazul latură–unghi–latură (L.U.L.). ✓ (U.L.U. ar cere o latură și cele două unghiuri alăturate ei.)

Triunghiuri #4

Se știe că △ABC≡△MNP\triangle ABC\equiv\triangle MNP, cu AB=7AB=7 cm, BC=9BC=9 cm și CA=5CA=5 cm. Atunci lungimea lui NPNP este:
  1. A. 7 cm7\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 5 cm5\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 9 cm9\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 21 cm21\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 9 cm9\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

Din △ABC≡△MNP\triangle ABC\equiv\triangle MNP rezultă corespondența vârfurilor A↔MA\leftrightarrow M, B↔NB\leftrightarrow N, C↔PC\leftrightarrow P, deci laturile corespondente sunt AB↔MN,BC↔NP,CA↔PM.AB\leftrightarrow MN,\quad BC\leftrightarrow NP,\quad CA\leftrightarrow PM. Prin urmare NP=BC=9NP=BC=9 cm. ✓

Triunghiuri #5

Se știe că △ABC≡△DEF\triangle ABC\equiv\triangle DEF, iar în triunghiul ABCABC avem A^=50∘\widehat{A}=50^\circ și B^=60∘\widehat{B}=60^\circ. Măsura unghiului F^\widehat{F} este:
  1. A. 60∘60^\circ
  2. B. 50∘50^\circ
  3. C. 70∘70^\circ
  4. D. 120∘120^\circ
Rezolvare

Răspuns corect: C. 70∘70^\circ

În triunghiul ABCABC: C^=180∘−50∘−60∘=70∘.\widehat C=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ. Din △ABC≡△DEF\triangle ABC\equiv\triangle DEF avem C^≡F^\widehat C\equiv\widehat F, deci F^=70∘.\widehat F=70^\circ. ✓

Triunghiuri #6

Mediana unui triunghi este segmentul care unește un vârf cu:
  1. A. piciorul perpendicularei duse din acel vaˆrf\text{piciorul}\text{ }\allowbreak{}\text{perpendicularei}\text{ }\allowbreak{}\text{duse}\text{ }\allowbreak{}\text{din}\text{ }\allowbreak{}\text{acel}\text{ }\allowbreak{}\text{vârf}
  2. B. mijlocul unei laturi ala˘turate\text{mijlocul}\text{ }\allowbreak{}\text{unei}\text{ }\allowbreak{}\text{laturi}\text{ }\allowbreak{}\text{alăturate}
  3. C. un punct oarecare al laturii opuse\text{un}\text{ }\allowbreak{}\text{punct}\text{ }\allowbreak{}\text{oarecare}\text{ }\allowbreak{}\text{al}\text{ }\allowbreak{}\text{laturii}\text{ }\allowbreak{}\text{opuse}
  4. D. mijlocul laturii opuse\text{mijlocul}\text{ }\allowbreak{}\text{laturii}\text{ }\allowbreak{}\text{opuse}
Rezolvare

Răspuns corect: D. mijlocul laturii opuse\text{mijlocul}\text{ }\allowbreak{}\text{laturii}\text{ }\allowbreak{}\text{opuse}

Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse acelui vârf. ✓ A nu se confunda cu: - înălțimea — de la vârf, perpendiculară pe latura opusă; - bisectoarea — semidreapta care împarte unghiul din vârf în două unghiuri congruente.

Triunghiuri #7

În triunghiul ABCABC, [AM][AM] este mediană și AM=12AM=12 cm. Dacă GG este centrul de greutate, atunci AGAG este:
  1. A. 4 cm4\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 6 cm6\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 9 cm9\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 8 cm8\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: D. 8 cm8\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul 2:12:1, partea mai lungă fiind cea dinspre vârf: AG=23⋅AM=23⋅12=8 cm.AG=\frac23\cdot AM=\frac23\cdot 12=8\ \text{cm}. ✓ (Atunci GM=12−8=4GM=12-8=4 cm — de aici capcana: 44 cm este GMGM, nu AGAG.)

Triunghiuri #8

Două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele congruente și câte o catetă congruentă. Ele sunt congruente conform cazului:
  1. A. L.U.L.\text{L.U.L.}
  2. B. U.L.U.\text{U.L.U.}
  3. C. I.C. (ipotenuza˘–cateta˘)\text{I.C.}\text{ }\allowbreak{}\text{(ipotenuză–catetă)}
  4. D. nu sunt neapa˘rat congruente\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{sunt}\text{ }\allowbreak{}\text{neapărat}\text{ }\allowbreak{}\text{congruente}
Rezolvare

Răspuns corect: C. I.C. (ipotenuza˘–cateta˘)\text{I.C.}\text{ }\allowbreak{}\text{(ipotenuză–catetă)}

Este cazul I.C. (ipotenuză–catetă). ✓ Justificare: din teorema lui Pitagora, a doua catetă se determină unic din ipotenuză și prima catetă, deci triunghiurile au toate laturile congruente (cazul L.L.L.).

Triunghiuri #9

Într-un triunghi obtuzunghic, piciorul înălțimii duse din vârful unui unghi ascuțit se află:
  1. A. pe prelungirea laturii opuse\text{pe}\text{ }\allowbreak{}\text{prelungirea}\text{ }\allowbreak{}\text{laturii}\text{ }\allowbreak{}\text{opuse}
  2. B. ıˆntotdeauna pe latura opusa˘\text{întotdeauna}\text{ }\allowbreak{}\text{pe}\text{ }\allowbreak{}\text{latura}\text{ }\allowbreak{}\text{opusă}
  3. C. ıˆn interiorul triunghiului\text{în}\text{ }\allowbreak{}\text{interiorul}\text{ }\allowbreak{}\text{triunghiului}
  4. D. ıˆn vaˆrful unghiului obtuz\text{în}\text{ }\allowbreak{}\text{vârful}\text{ }\allowbreak{}\text{unghiului}\text{ }\allowbreak{}\text{obtuz}
Rezolvare

Răspuns corect: A. pe prelungirea laturii opuse\text{pe}\text{ }\allowbreak{}\text{prelungirea}\text{ }\allowbreak{}\text{laturii}\text{ }\allowbreak{}\text{opuse}

Într-un triunghi obtuzunghic, înălțimile duse din vârfurile unghiurilor ascuțite cad pe prelungirile laturilor opuse, în afara triunghiului. ✓ Doar înălțimea din vârful unghiului obtuz cade pe latura opusă. De aceea ortocentrul unui triunghi obtuzunghic se află în exteriorul triunghiului.

Triunghiuri #10

Suma măsurilor celor trei unghiuri exterioare ale unui triunghi (câte unul la fiecare vârf) este:
  1. A. 180∘180^\circ
  2. B. 540∘540^\circ
  3. C. 360∘360^\circ
  4. D. depinde de triunghi\text{depinde}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\text{triunghi}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 360∘360^\circ

Fiecare unghi exterior este suplementul celui interior, deci suma celor trei exterioare este 3⋅180∘−(suma interioarelor)=540∘−180∘=360∘.3\cdot 180^\circ-(\text{suma interioarelor})=540^\circ-180^\circ=360^\circ. ✓ Rezultatul este valabil pentru orice poligon convex: suma unghiurilor exterioare este întotdeauna 360∘360^\circ.

Triunghiuri #11

Într-un triunghi ABCABC se știe că A^=80∘\widehat A=80^\circ și B^=60∘\widehat B=60^\circ. Cea mai lungă latură este:
  1. A. ABAB
  2. B. toate sunt egale\text{toate}\text{ }\allowbreak{}\text{sunt}\text{ }\allowbreak{}\text{egale}
  3. C. ACAC
  4. D. BCBC
Rezolvare

Răspuns corect: D. BCBC

C^=180∘−80∘−60∘=40∘.\widehat C=180^\circ-80^\circ-60^\circ=40^\circ. Cel mai mare unghi este A^=80∘\widehat A=80^\circ, iar latura opusă lui este BCBC. ✓ Ordinea completă: A^>B^>C^\widehat A>\widehat B>\widehat C, deci BC>AC>ABBC>AC>AB.

Triunghiuri #12

Într-un triunghi isoscel, unghiul exterior de la bază are măsura de 110∘110^\circ. Măsura unghiului de la vârf este:
  1. A. 40∘40^\circ
  2. B. 70∘70^\circ
  3. C. 20∘20^\circ
  4. D. 110∘110^\circ
Rezolvare

Răspuns corect: A. 40∘40^\circ

Unghiul interior de la bază este suplementul celui exterior: 180∘−110∘=70∘.180^\circ-110^\circ=70^\circ. Într-un triunghi isoscel ambele unghiuri de la bază au 70∘70^\circ, deci unghiul de la vârf este 180∘−2⋅70∘=40∘.180^\circ-2\cdot 70^\circ=40^\circ. ✓ Verificare cu teorema unghiului exterior: 110∘=40∘+70∘110^\circ=40^\circ+70^\circ ✓
În aplicațieÎncă 4 exerciții cu triunghiuriIntră în cont și continui direct de la triunghiuri — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 6-a