pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 7-a

Exerciții rezolvate cu asemănare și teoreme de proporționalitate — clasa a 7-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu asemănare și teoreme de proporționalitate pentru clasa a 7-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de Evaluare Națională. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Asemănare și teoreme de proporționalitate #1

Triunghiurile ABCABC și DEFDEF sunt asemenea, cu ABDE=23\dfrac{AB}{DE}=\dfrac23. Dacă AB=12AB=12 cm, atunci DEDE este:
  1. A. 18 cm18\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 24 cm24\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 8 cm8\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 36 cm36\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 18 cm18\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

12DE=23 ⇒ 2⋅DE=36 ⇒ DE=18 cm.\frac{12}{DE}=\frac23\ \Rightarrow\ 2\cdot DE=36\ \Rightarrow\ DE=18\ \text{cm}. ✓ (Capcana 88 cm apare din 12⋅2312\cdot\dfrac23 — adică din a inversa raportul: cum ABDE<1\dfrac{AB}{DE}<1, triunghiul DEFDEF este cel mai mare.)

Asemănare și teoreme de proporționalitate #2

Două triunghiuri sunt asemenea cu raportul de asemănare 33. Raportul ariilor lor este:
  1. A. 33
  2. B. 66
  3. C. 99
  4. D. 2727
Rezolvare

Răspuns corect: C. 99

Dacă raportul de asemănare este kk, atunci A1A2=k2=32=9.\frac{\mathcal A_1}{\mathcal A_2}=k^2=3^2=9. ✓ (Raportul perimetrelor rămâne k=3k=3; abia raportul volumelor, la corpuri asemenea, ar fi k3=27k^3=27.)

Asemănare și teoreme de proporționalitate #3

În triunghiul ABCABC, punctele M∈[AB]M\in[AB] și N∈[AC]N\in[AC] sunt astfel încât MN∥BCMN\parallel BC. Se știe că AMMB=23\dfrac{AM}{MB}=\dfrac23 și AN=4AN=4 cm. Atunci NCNC este:
  1. A. 83 cm\dfrac83\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 8 cm8\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 10 cm10\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 6 cm6\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: D. 6 cm6\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

Din MN∥BCMN\parallel BC, teorema lui Thales dă AMMB=ANNC ⇒ 23=4NC ⇒ 2⋅NC=12 ⇒ NC=6 cm.\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\ \Rightarrow\ \frac23=\frac{4}{NC}\ \Rightarrow\ 2\cdot NC=12\ \Rightarrow\ NC=6\ \text{cm}. ✓

Asemănare și teoreme de proporționalitate #4

În triunghiul ABCABC, M∈[AB]M\in[AB], N∈[AC]N\in[AC] și MN∥BCMN\parallel BC. Dacă AB=15AB=15 cm, AM=6AM=6 cm și AN=8AN=8 cm, atunci ACAC este:
  1. A. 12 cm12\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 20 cm20\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 18 cm18\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 10 cm10\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 20 cm20\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

AMAB=ANAC ⇒ 615=8AC ⇒ 6⋅AC=120 ⇒ AC=20 cm.\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\ \Rightarrow\ \frac{6}{15}=\frac{8}{AC}\ \Rightarrow\ 6\cdot AC=120\ \Rightarrow\ AC=20\ \text{cm}. ✓ Verificare cu forma pe segmente parțiale: MB=15−6=9MB=15-6=9, NC=20−8=12NC=20-8=12 și 69=812=23\dfrac69=\dfrac{8}{12}=\dfrac23 ✓

Asemănare și teoreme de proporționalitate #5

Două triunghiuri sunt asemenea, cu raportul de asemănare 25\dfrac25. Raportul perimetrelor lor este:
  1. A. 425\dfrac{4}{25}
  2. B. 25\dfrac25
  3. C. 52\dfrac52
  4. D. 8125\dfrac{8}{125}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 25\dfrac25

Perimetrul fiind o sumă de lungimi, el se multiplică cu raportul de asemănare: P1P2=k=25.\frac{P_1}{P_2}=k=\frac25. ✓ De reținut ierarhia: lungimi →k\to k; arii →k2=425\to k^2=\dfrac{4}{25}; volume (la corpuri asemenea) →k3=8125\to k^3=\dfrac{8}{125}.

Asemănare și teoreme de proporționalitate #6

În triunghiul ABCABC, MN∥BCMN\parallel BC (M∈(AB)M\in(AB), N∈(AC)N\in(AC)), iar AAMNAABC=19\dfrac{\mathcal A_{AMN}}{\mathcal A_{ABC}}=\dfrac19. Atunci AMAB\dfrac{AM}{AB} este:
  1. A. 19\dfrac19
  2. B. 33
  3. C. 181\dfrac{1}{81}
  4. D. 13\dfrac13
Rezolvare

Răspuns corect: D. 13\dfrac13

k2=19 ⇒ k=13,k^2=\frac19\ \Rightarrow\ k=\frac13, deci AMAB=13\dfrac{AM}{AB}=\dfrac13. ✓ Verificare: dacă AMAB=13\dfrac{AM}{AB}=\dfrac13, atunci MNBC=13\dfrac{MN}{BC}=\dfrac13 și raportul ariilor este 19\dfrac19 ✓

Asemănare și teoreme de proporționalitate #7

În triunghiul ABCABC, M∈(AB)M\in(AB) și N∈(AC)N\in(AC) cu AM=3AM=3, MB=6MB=6, AN=4AN=4, NC=8NC=8. Atunci:
  1. A. MN nu este paralela˘ cu BCMN\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{paralelă}\text{ }\allowbreak{}\text{cu}\text{ }\allowbreak{}BC
  2. B. M și N sunt mijloacele laturilorM\text{ }\allowbreak{}\text{și}\text{ }\allowbreak{}N\text{ }\allowbreak{}\text{sunt}\text{ }\allowbreak{}\text{mijloacele}\text{ }\allowbreak{}\text{laturilor}
  3. C. MN∥BCMN\parallel BC
  4. D. MN=BCMN=BC
Rezolvare

Răspuns corect: C. MN∥BCMN\parallel BC

AMMB=36=12,ANNC=48=12.\frac{AM}{MB}=\frac36=\frac12,\qquad \frac{AN}{NC}=\frac48=\frac12. Rapoartele fiind egale, prin reciproca teoremei lui Thales rezultă MN∥BCMN\parallel BC. ✓ (Punctele nu sunt mijloace: AM=3AM=3, dar MB=6MB=6.)

Asemănare și teoreme de proporționalitate #8

În triunghiul ABCABC, M∈[AB]M\in[AB], N∈[AC]N\in[AC] și MN∥BCMN\parallel BC. Dacă AMAB=13\dfrac{AM}{AB}=\dfrac13 și BC=15BC=15 cm, atunci MNMN este:
  1. A. 5 cm5\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 7,5 cm7{,}5\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 10 cm10\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 45 cm45\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 5 cm5\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

Din MN∥BCMN\parallel BC rezultă △AMN∼△ABC\triangle AMN\sim\triangle ABC, cu raportul k=AMAB=13k=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac13. Atunci MNBC=13 ⇒ MN=153=5 cm.\frac{MN}{BC}=\frac13\ \Rightarrow\ MN=\frac{15}{3}=5\ \text{cm}. ✓

Asemănare și teoreme de proporționalitate #9

În triunghiul ABCABC, MN∥BCMN\parallel BC cu M∈[AB]M\in[AB], N∈[AC]N\in[AC] și AMAB=25\dfrac{AM}{AB}=\dfrac25. Raportul AAMNAABC\dfrac{\mathcal A_{AMN}}{\mathcal A_{ABC}} este:
  1. A. 25\dfrac25
  2. B. 254\dfrac{25}{4}
  3. C. 8125\dfrac{8}{125}
  4. D. 425\dfrac{4}{25}
Rezolvare

Răspuns corect: D. 425\dfrac{4}{25}

Din TFA, △AMN∼△ABC\triangle AMN\sim\triangle ABC cu k=25k=\dfrac25, deci AAMNAABC=k2=(25)2=425.\frac{\mathcal A_{AMN}}{\mathcal A_{ABC}}=k^2=\left(\frac25\right)^2=\frac{4}{25}. ✓ (8125=k3\dfrac{8}{125}=k^3 ar fi raportul volumelor unor corpuri asemenea — nu al ariilor unor figuri plane.)

Asemănare și teoreme de proporționalitate #10

În triunghiul ABCABC, MN∥BCMN\parallel BC cu M∈[AB]M\in[AB], N∈[AC]N\in[AC] și AMMB=12\dfrac{AM}{MB}=\dfrac12. Dacă aria triunghiului AMNAMN este 44 cm², atunci aria triunghiului ABCABC este:
  1. A. 12 cm212\text{ }\allowbreak{}\text{cm}^2
  2. B. 16 cm216\text{ }\allowbreak{}\text{cm}^2
  3. C. 36 cm236\text{ }\allowbreak{}\text{cm}^2
  4. D. 8 cm28\text{ }\allowbreak{}\text{cm}^2
Rezolvare

Răspuns corect: C. 36 cm236\text{ }\allowbreak{}\text{cm}^2

Din AMMB=12\dfrac{AM}{MB}=\dfrac12 obținem MB=2 AMMB=2\,AM, deci AB=AM+MB=3 AM ⇒ k=AMAB=13.AB=AM+MB=3\,AM\ \Rightarrow\ k=\frac{AM}{AB}=\frac13. Atunci AAMNAABC=k2=19 ⇒ AABC=9⋅4=36 cm2.\frac{\mathcal A_{AMN}}{\mathcal A_{ABC}}=k^2=\frac19\ \Rightarrow\ \mathcal A_{ABC}=9\cdot 4=36\ \text{cm}^2. ✓ (Capcana 1616 cm² vine din k=12k=\dfrac12, adică AABC=4⋅4\mathcal A_{ABC}=4\cdot 4.)

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 7-a