pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 7-a

Exerciții rezolvate cu cerc — clasa a 7-a

Pe această pagină găsești 12 exerciții rezolvate cu cerc pentru clasa a 7-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de Evaluare Națională. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Cerc #1

Pătratul ABCDABCD este înscris într-un cerc cu centrul OO și raza r=5 cmr = 5\ \text{cm}. Care este aria pătratului?
  1. A. 50 cm250\ \text{cm}^2
  2. B. 25 cm225\ \text{cm}^2
  3. C. 100 cm2100\ \text{cm}^2
  4. D. 20 cm220\ \text{cm}^2
Rezolvare

Răspuns corect: A. 50 cm250\ \text{cm}^2

d=2⋅5=10 cmd = 2\cdot 5 = 10\ \text{cm}. Aria =1022=50 cm2= \dfrac{10^2}{2} = 50\ \text{cm}^2.

Cerc #2

Hexagonul regulat ABCDEFABCDEF este înscris într-un cerc cu centrul OO și raza r=4 cmr = 4\ \text{cm}. Care este perimetrul hexagonului?
  1. A. 16 cm16\ \text{cm}
  2. B. 20 cm20\ \text{cm}
  3. C. 24 cm24\ \text{cm}
  4. D. 12 cm12\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 24 cm24\ \text{cm}

Latura =r=4 cm=r=4\ \text{cm}, deci perimetrul =6⋅4=24 cm=6\cdot 4=24\ \text{cm}.

Cerc #3

Triunghiul echilateral ABCABC este înscris într-un cerc cu centrul OO și raza r=6 cmr = 6\ \text{cm}. Care este aria triunghiului?
  1. A. 93 cm29\sqrt{3}\ \text{cm}^2
  2. B. 273 cm227\sqrt{3}\ \text{cm}^2
  3. C. 183 cm218\sqrt{3}\ \text{cm}^2
  4. D. 543 cm254\sqrt{3}\ \text{cm}^2
Rezolvare

Răspuns corect: B. 273 cm227\sqrt{3}\ \text{cm}^2

l=63 cml=6\sqrt3\ \text{cm}, deci l2=108l^2=108. Aria =10834=273 cm2=\dfrac{108\sqrt3}{4}=27\sqrt3\ \text{cm}^2.

Cerc #4

În cercul cu centrul OO din figură, unghiul la centru ∠AOB=80°\angle AOB = 80°, iar punctul CC se află pe arcul mare ABAB (cel care nu conține unghiul marcat). Care este măsura unghiului înscris ∠ACB\angle ACB?
  1. A. 40°40°
  2. B. 80°80°
  3. C. 20°20°
  4. D. 160°160°
Rezolvare

Răspuns corect: A. 40°40°

∠ACB=∠AOB2=80°2=40°\angle ACB=\dfrac{\angle AOB}{2}=\dfrac{80°}{2}=40°.

Cerc #5

Dintr-un punct PP exterior unui cerc de centru OO și rază 55 cm se duce tangenta PTPT (TT punct de tangență). Dacă OP=13OP=13 cm, atunci PTPT este:
  1. A. 12 cm12\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 18 cm18\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 144 cm144\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 8 cm8\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 12 cm12\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

Cum OT⊥PTOT\perp PT, triunghiul OTPOTP este dreptunghic în TT, cu ipotenuza OPOP: PT2=OP2−OT2=132−52=169−25=144 ⇒ PT=12 cm.PT^2=OP^2-OT^2=13^2-5^2=169-25=144\ \Rightarrow\ PT=12\ \text{cm}. ✓ (Capcana 88 cm vine din 13−513-5; 144144 este PT2PT^2, nu PTPT.)

Cerc #6

Din punctul PP, exterior unui cerc, se duc tangentele PAPA și PBPB (AA și BB puncte de tangență). Dacă PA=7PA=7 cm, atunci PBPB este:
  1. A. 14 cm14\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. nu se poate determina\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{se}\text{ }\allowbreak{}\text{poate}\text{ }\allowbreak{}\text{determina}
  3. C. 3,5 cm3{,}5\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 7 cm7\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: D. 7 cm7\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

În triunghiurile dreptunghice OAPOAP și OBPOBP: OPOP este ipotenuză comună, iar OA=OB=rOA=OB=r. Prin cazul I.C. (ipotenuză–catetă) ele sunt congruente, deci PB=PA=7 cm.PB=PA=7\ \text{cm}. ✓ Aceasta este proprietatea tangentelor duse dintr-un punct exterior: ele sunt congruente, iar POPO este bisectoarea unghiului APB^\widehat{APB}.

Cerc #7

Un unghi înscris într-un cerc subîntinde un arc de 80∘80^\circ. Măsura unghiului înscris este:
  1. A. 80∘80^\circ
  2. B. 160∘160^\circ
  3. C. 20∘20^\circ
  4. D. 40∘40^\circ
Rezolvare

Răspuns corect: D. 40∘40^\circ

m(BAC^)=m(BC⌢)2=80∘2=40∘.m(\widehat{BAC})=\frac{m(\overset{\frown}{BC})}{2}=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ. ✓ (Unghiul la centru care subîntinde același arc ar avea 80∘80^\circ — de aici capcana.)

Cerc #8

În cercul de centru OO, [AB][AB] este diametru, iar CC este un punct al cercului, diferit de AA și BB. Măsura unghiului ACB^\widehat{ACB} este:
  1. A. 45∘45^\circ
  2. B. 90∘90^\circ
  3. C. 180∘180^\circ
  4. D. 60∘60^\circ
Rezolvare

Răspuns corect: B. 90∘90^\circ

Arcul ABAB care nu-l conține pe CC are 180∘180^\circ (fiindcă [AB][AB] este diametru), deci m(ACB^)=180∘2=90∘.m(\widehat{ACB})=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ. ✓ Acesta este teorema unghiului înscris în semicerc: triunghiul ABCABC este dreptunghic în CC, oricare ar fi poziția lui CC pe cerc.

Cerc #9

O dreaptă este tangentă unui cerc de centru OO în punctul TT. Unghiul dintre raza OTOT și tangentă are măsura:
  1. A. 90∘90^\circ
  2. B. 60∘60^\circ
  3. C. 45∘45^\circ
  4. D. depinde de raza˘\text{depinde}\text{ }\allowbreak{}\text{de}\text{ }\allowbreak{}\text{rază}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 90∘90^\circ

Raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă, deci unghiul are 90∘90^\circ. ✓ Justificare: dacă unghiul ar fi diferit de 90∘90^\circ, distanța de la OO la dreaptă ar fi mai mică decât rr, iar dreapta ar tăia cercul în două puncte — deci nu ar fi tangentă.

Cerc #10

Două unghiuri înscrise într-un cerc subîntind același arc. Ele sunt:
  1. A. suplementare\text{suplementare}
  2. B. unul dublul celuilalt\text{unul}\text{ }\allowbreak{}\text{dublul}\text{ }\allowbreak{}\text{celuilalt}
  3. C. complementare\text{complementare}
  4. D. congruente\text{congruente}
Rezolvare

Răspuns corect: D. congruente\text{congruente}

Măsura oricărui unghi înscris este jumătate din arcul subîntins. Arcul fiind același, cele două unghiuri au aceeași măsură: sunt congruente. ✓ Consecință folosită des: dacă din două puncte PP și QQ, de aceeași parte a lui [AB][AB], segmentul se „vede" sub același unghi, atunci AA, BB, PP, QQ sunt conciclice.

Cerc #11

Latura hexagonului regulat înscris într-un cerc de rază 66 cm are lungimea:
  1. A. 12 cm12\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 3 cm3\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 6 cm6\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 63 cm6\sqrt3\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 6 cm6\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

Unghiul la centru corespunzător unei laturi este 360∘6=60∘\dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ. Triunghiul format de centru și două vârfuri consecutive este isoscel (laturile sunt raze) și are unghiul de la vârf 60∘60^\circ — deci este echilateral. Prin urmare ℓ6=R=6\ell_6=R=6 cm. ✓

Cerc #12

Latura pătratului înscris într-un cerc de rază 55 cm are lungimea:
  1. A. 10 cm10\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 52 cm5\sqrt2\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 53 cm5\sqrt3\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 5 cm5\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 52 cm5\sqrt2\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

Diagonala pătratului este diametrul: d=2R=10d=2R=10 cm. Din d=ℓ2d=\ell\sqrt2: ℓ=102=52 cm≈7,07 cm.\ell=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2\ \text{cm}\approx 7{,}07\ \text{cm}. ✓ (1010 cm este diagonala, nu latura — latura este mai scurtă decât diametrul.)

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 7-a