pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 7-a

Exerciții rezolvate cu puteri și radicali — clasa a 7-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu puteri și radicali pentru clasa a 7-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de Evaluare Națională. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Puteri și radicali #1

Calculați 3⋅12\sqrt3\cdot\sqrt{12}.
  1. A. 66
  2. B. 3636
  3. C. 1515
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: A. 66

3⋅12=36=6\sqrt3\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6.

Puteri și radicali #2

Calculați 45+20−5\sqrt{45}+\sqrt{20}-\sqrt5.
  1. A. 555\sqrt5
  2. B. 353\sqrt5
  3. C. 656\sqrt5
  4. D. 454\sqrt5
Rezolvare

Răspuns corect: D. 454\sqrt5

45=35\sqrt{45}=3\sqrt5, 20=25\sqrt{20}=2\sqrt5. Atunci 45+20−5=35+25−5=45\sqrt{45}+\sqrt{20}-\sqrt5=3\sqrt5+2\sqrt5-\sqrt5=4\sqrt5.

Puteri și radicali #3

Raționalizați numitorul fracției 13\dfrac{1}{\sqrt3}.
  1. A. 13\dfrac13
  2. B. 333\sqrt3
  3. C. 33\dfrac{\sqrt3}{3}
  4. D. 3\sqrt3
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33\dfrac{\sqrt3}{3}

13=1⋅33⋅3=33\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{1\cdot\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}.

Puteri și radicali #4

Rezultatul calculului 18+8\sqrt{18}+\sqrt{8} este:
  1. A. 525\sqrt2
  2. B. 26\sqrt{26}
  3. C. 626\sqrt2
  4. D. 5265\sqrt{26}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 525\sqrt2

18=32,8=22,\sqrt{18}=3\sqrt2,\qquad \sqrt{8}=2\sqrt2, deci 18+8=32+22=52.\sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt2+2\sqrt2=5\sqrt2. ✓ (Capcana 26\sqrt{26} vine din 18+8\sqrt{18+8} — dar a+b≠a+b\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}: numeric 52≈7,075\sqrt2\approx 7{,}07, iar 26≈5,10\sqrt{26}\approx 5{,}10.)

Puteri și radicali #5

Rezultatul calculului (5−2)(5+2)(\sqrt5-2)(\sqrt5+2) este:
  1. A. 5\sqrt5
  2. B. 99
  3. C. −1-1
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: D. 11

(5−2)(5+2)=(5)2−22=5−4=1.(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=(\sqrt5)^2-2^2=5-4=1. ✓ Acesta este chiar mecanismul raționalizării: produsul unei expresii cu conjugata ei elimină radicalul.

Puteri și radicali #6

Raționalizați numitorul fracției 25−1\dfrac{2}{\sqrt5-1}.
  1. A. 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}
  2. B. 5+1\sqrt5+1
  3. C. 5+12\dfrac{\sqrt5+1}{2}
  4. D. 5+14\dfrac{\sqrt5+1}{4}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 5+12\dfrac{\sqrt5+1}{2}

25−1=2(5+1)(5−1)(5+1)=2(5+1)5−1=2(5+1)4=5+12\dfrac{2}{\sqrt5-1}=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{5-1}=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{4}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}.

Puteri și radicali #7

Rezultatul calculului (3+1)2\left(\sqrt3+1\right)^2 este:
  1. A. 44
  2. B. 4−234-2\sqrt3
  3. C. 4+234+2\sqrt3
  4. D. 232\sqrt3
Rezolvare

Răspuns corect: C. 4+234+2\sqrt3

(3+1)2=3+23+1=4+23≈7,46.\left(\sqrt3+1\right)^2=3+2\sqrt3+1=4+2\sqrt3\approx 7{,}46. ✓ (Capcana 44 „distribuie" pătratul peste sumă — greșit; ea ar fi corectă doar dacă termenul din mijloc ar lipsi.)

Puteri și radicali #8

Forma raționalizată a numărului 45+1\dfrac{4}{\sqrt5+1} este:
  1. A. 5+1\sqrt5+1
  2. B. 5−14\dfrac{\sqrt5-1}{4}
  3. C. 4(5−1)4\left(\sqrt5-1\right)
  4. D. 5−1\sqrt5-1
Rezolvare

Răspuns corect: D. 5−1\sqrt5-1

45+1=4(5−1)5−1=4(5−1)4=5−1.\frac{4}{\sqrt5+1}=\frac{4\left(\sqrt5-1\right)}{5-1}=\frac{4\left(\sqrt5-1\right)}{4}=\sqrt5-1. ✓ Verificare numerică: 43,236≈1,236\dfrac{4}{3{,}236}\approx 1{,}236 și 2,236−1=1,2362{,}236-1=1{,}236 ✓

Puteri și radicali #9

Forma raționalizată a numărului 63\dfrac{6}{\sqrt3} este:
  1. A. 636\sqrt3
  2. B. 323\sqrt2
  3. C. 32\dfrac{\sqrt3}{2}
  4. D. 232\sqrt3
Rezolvare

Răspuns corect: D. 232\sqrt3

63=633⋅3=633=23.\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3. ✓ Verificare numerică: 61,732≈3,46\dfrac{6}{1{,}732}\approx 3{,}46 și 23≈3,462\sqrt3\approx 3{,}46 ✓

Puteri și radicali #10

Forma raționalizată a numărului 25−3\dfrac{2}{\sqrt5-\sqrt3} este:
  1. A. 5−3\sqrt5-\sqrt3
  2. B. 2(5+3)2(\sqrt5+\sqrt3)
  3. C. 5+32\dfrac{\sqrt5+\sqrt3}{2}
  4. D. 5+3\sqrt5+\sqrt3
Rezolvare

Răspuns corect: D. 5+3\sqrt5+\sqrt3

25−3=2(5+3)(5)2−(3)2=2(5+3)5−3=2(5+3)2=5+3.\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2}=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{5-3}=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{2}=\sqrt5+\sqrt3. ✓ Verificare numerică: 22,236−1,732≈20,504≈3,97\dfrac{2}{2{,}236-1{,}732}\approx\dfrac{2}{0{,}504}\approx 3{,}97 și 5+3≈3,97\sqrt5+\sqrt3\approx 3{,}97 ✓

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 7-a