pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 7-a

Exerciții rezolvate cu teorema lui pitagora — clasa a 7-a

Pe această pagină găsești 11 exerciții rezolvate cu teorema lui pitagora pentru clasa a 7-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de Evaluare Națională. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Teorema lui Pitagora #1

Triunghiul dreptunghic ABCABC are unghiul drept în BB, cateta AB=8 cmAB = 8\ \text{cm} și cateta BC=15 cmBC = 15\ \text{cm}. Care este lungimea ipotenuzei ACAC?
  1. A. 17 cm17\ \text{cm}
  2. B. 23 cm23\ \text{cm}
  3. C. 7 cm7\ \text{cm}
  4. D. 120 cm120\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 17 cm17\ \text{cm}

AC2=82+152=64+225=289AC^2=8^2+15^2=64+225=289, deci AC=289=17 cmAC=\sqrt{289}=17\ \text{cm}.

Teorema lui Pitagora #2

Într-un triunghi dreptunghic ABCABC, cu unghiul drept în AA, ipotenuza BCBC are lungimea 25 cm25\ \text{cm}, iar proiecția catetei ABAB pe ipotenuză are lungimea 9 cm9\ \text{cm}. Lungimea catetei ABAB este:
  1. A. 15 cm15\ \text{cm}
  2. B. 225 cm225\ \text{cm}
  3. C. 16 cm16\ \text{cm}
  4. D. 12 cm12\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 15 cm15\ \text{cm}

AB2=BC⋅pAB=25⋅9=225.AB^2 = BC \cdot p_{AB} = 25 \cdot 9 = 225. Extragem radicalul: AB=225=15 cm.AB = \sqrt{225} = 15\ \text{cm}.

Teorema lui Pitagora #3

Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză au lungimile 4 cm4\ \text{cm} și 9 cm9\ \text{cm}. Care este lungimea înălțimii duse din vârful unghiului drept pe ipotenuză?
  1. A. 6 cm6\ \text{cm}
  2. B. 36 cm36\ \text{cm}
  3. C. 13 cm13\ \text{cm}
  4. D. 6,5 cm6{,}5\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 6 cm6\ \text{cm}

h2=4⋅9=36.h^2 = 4 \cdot 9 = 36. Extragem radicalul: h=36=6 cm.h = \sqrt{36} = 6\ \text{cm}.

Teorema lui Pitagora #4

Într-un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în AA, catetele ABAB și ACAC au lungimile 15 cm15\ \text{cm}, respectiv 20 cm20\ \text{cm}. Care este lungimea proiecției catetei ACAC pe ipotenuza BCBC?
  1. A. 16 cm16\ \text{cm}
  2. B. 9 cm9\ \text{cm}
  3. C. 20 cm20\ \text{cm}
  4. D. 12,5 cm12{,}5\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 16 cm16\ \text{cm}

Aflăm mai întâi ipotenuza cu teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2=152+202=225+400=625⇒BC=25 cm.BC^2 = AB^2 + AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \Rightarrow BC = 25\ \text{cm}. Aplicăm teorema catetei pentru ACAC: AC2=BC⋅pAC⇒pAC=20225=40025=16 cm.AC^2 = BC \cdot p_{AC} \Rightarrow p_{AC} = \dfrac{20^2}{25} = \dfrac{400}{25} = 16\ \text{cm}.

Teorema lui Pitagora #5

Un dreptunghi are laturile de 99 cm și 1212 cm. Diagonala lui are lungimea:
  1. A. 15 cm15\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 21 cm21\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 225 cm225\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 21 cm\sqrt{21}\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 15 cm15\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

d=92+122=81+144=225=15 cm.d=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\ \text{cm}. ✓ (225225 este d2d^2, iar 2121 ar fi suma laturilor — nici una nu este diagonala.)

Teorema lui Pitagora #6

Înălțimea unui triunghi echilateral cu latura de 66 cm este:
  1. A. 3 cm3\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 63 cm6\sqrt3\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 33 cm3\sqrt3\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 32 cm3\sqrt2\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33 cm3\sqrt3\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

Piciorul înălțimii este mijlocul bazei, deci h=62−32=36−9=27=33 cm≈5,20 cm.h=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt3\ \text{cm}\approx 5{,}20\ \text{cm}. ✓ (Formula generală: h=ℓ32=632=33h=\dfrac{\ell\sqrt3}{2}=\dfrac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3.)

Teorema lui Pitagora #7

În triunghiul dreptunghic ABCABC (unghiul drept în CC), înălțimea din CC împarte ipotenuza în segmentele de 44 cm și 99 cm. Lungimea înălțimii este:
  1. A. 132 cm\dfrac{13}{2}\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 6 cm6\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 36 cm36\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 13 cm13\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 6 cm6\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

h2=AH⋅HB=4⋅9=36 ⇒ h=6 cm.h^2=AH\cdot HB=4\cdot 9=36\ \Rightarrow\ h=6\ \text{cm}. ✓ Observație: hh este media geometrică a proiecțiilor, nu media aritmetică (4+92=6,5\dfrac{4+9}{2}=6{,}5 — de aici capcana).

Teorema lui Pitagora #8

Într-un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în AA, ipotenuza BCBC are lungimea 25 cm25\ \text{cm}, iar cateta ABAB are lungimea 20 cm20\ \text{cm}. Lungimea înălțimii din AA pe ipotenuză este:
  1. A. 12 cm12\ \text{cm}
  2. B. 9 cm9\ \text{cm}
  3. C. 15 cm15\ \text{cm}
  4. D. 16 cm16\ \text{cm}
  5. E. 20 cm20\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 12 cm12\ \text{cm}

Proiecția catetei ABAB pe ipotenuză, prin teorema catetei: AB2=BC⋅pAB⇒pAB=20225=40025=16 cm.AB^2 = BC \cdot p_{AB} \Rightarrow p_{AB} = \dfrac{20^2}{25} = \dfrac{400}{25} = 16\ \text{cm}. Cealaltă proiecție: pAC=BC−pAB=25−16=9 cmp_{AC} = BC - p_{AB} = 25 - 16 = 9\ \text{cm}. Prin teorema înălțimii: h2=pAB⋅pAC=16⋅9=144⇒h=12 cm.h^2 = p_{AB} \cdot p_{AC} = 16 \cdot 9 = 144 \Rightarrow h = 12\ \text{cm}.

Teorema lui Pitagora #9

O scară de 55 m se sprijină de un perete vertical, cu baza la 33 m de perete. La ce înălțime atinge scara peretele?
  1. A. 8 m8\text{ }\allowbreak{}\text{m}
  2. B. 2 m2\text{ }\allowbreak{}\text{m}
  3. C. 4 m4\text{ }\allowbreak{}\text{m}
  4. D. 34 m\sqrt{34}\text{ }\allowbreak{}\text{m}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 4 m4\text{ }\allowbreak{}\text{m}

h2=52−32=25−9=16 ⇒ h=4 m.h^2=5^2-3^2=25-9=16\ \Rightarrow\ h=4\ \text{m}. ✓ Verificare: 32+42=25=523^2+4^2=25=5^2 ✓ (Capcana 34\sqrt{34} adună pătratele — corect doar dacă s-ar căuta ipotenuza, dar aceasta este chiar scara.)

Teorema lui Pitagora #10

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 2525 cm, iar proiecția unei catete pe ipotenuză are 99 cm. Lungimea acelei catete este:
  1. A. 12 cm12\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 15 cm15\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 5 cm5\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 20 cm20\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 15 cm15\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

c2=i⋅p=25⋅9=225 ⇒ c=15 cm.c^2=i\cdot p=25\cdot 9=225\ \Rightarrow\ c=15\ \text{cm}. ✓ Verificare: cealaltă proiecție este 25−9=1625-9=16, deci cealaltă catetă are 25⋅16=20\sqrt{25\cdot 16}=20 cm, iar 152+202=225+400=625=25215^2+20^2=225+400=625=25^2 ✓

Teorema lui Pitagora #11

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea din vârful unghiului drept împarte ipotenuza în segmentele de 99 cm și 1616 cm. Cateta mai lungă are:
  1. A. 12 cm12\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  2. B. 15 cm15\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  3. C. 20 cm20\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
  4. D. 25 cm25\text{ }\allowbreak{}\text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 20 cm20\text{ }\allowbreak{}\text{cm}

Ipotenuza este 9+16=259+16=25 cm. Cateta corespunzătoare proiecției de 1616 cm: c2=25⋅16=400 ⇒ c=20 cm.c^2=25\cdot 16=400\ \Rightarrow\ c=20\ \text{cm}. ✓ Verificare: cealaltă catetă este 25⋅9=15\sqrt{25\cdot 9}=15, iar 152+202=225+400=625=25215^2+20^2=225+400=625=25^2 ✓

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 7-a