pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 7-a

Exerciții rezolvate cu trigonometrie de bază — clasa a 7-a

Pe această pagină găsești 9 exerciții rezolvate cu trigonometrie de bază pentru clasa a 7-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de Evaluare Națională. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Trigonometrie de bază #1

În triunghiul dreptunghic ABCABC cu A^=90∘\widehat A=90^\circ, AC=3AC=3 cm și BC=5BC=5 cm. Atunci sin⁡B\sin B este:
  1. A. 45\dfrac45
  2. B. 34\dfrac34
  3. C. 35\dfrac35
  4. D. 53\dfrac53
Rezolvare

Răspuns corect: C. 35\dfrac35

Față de unghiul B^\widehat B, cateta opusă este AC=3AC=3, iar ipotenuza este BC=5BC=5: sin⁡B=ACBC=35.\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac35. ✓ (Cateta alăturată este AB=25−9=4AB=\sqrt{25-9}=4, deci cos⁡B=45\cos B=\dfrac45 — de aici capcana.)

Trigonometrie de bază #2

Într-un triunghi dreptunghic, catetele au 66 cm și 88 cm. Tangenta unghiului opus catetei de 66 cm este:
  1. A. 34\dfrac34
  2. B. 35\dfrac35
  3. C. 45\dfrac45
  4. D. 43\dfrac43
Rezolvare

Răspuns corect: A. 34\dfrac34

tg⁡=cateta opusa˘cateta ala˘turata˘=68=34.\operatorname{tg}=\frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}=\frac68=\frac34. ✓ (Raportul inversat, 43\dfrac43, este cotangenta aceluiași unghi; ipotenuza, 36+64=10\sqrt{36+64}=10, nu intră în formula tangentei.)

Trigonometrie de bază #3

Valoarea lui sin⁡30∘\sin 30^\circ este:
  1. A. 32\dfrac{\sqrt3}{2}
  2. B. 22\dfrac{\sqrt2}{2}
  3. C. 12\dfrac12
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: C. 12\dfrac12

sin⁡30∘=12.\sin 30^\circ=\frac12. ✓ Justificare: cateta opusă unghiului de 30∘30^\circ este jumătate din ipotenuză. (32\dfrac{\sqrt3}{2} este cos⁡30∘\cos 30^\circ, respectiv sin⁡60∘\sin 60^\circ.)

Trigonometrie de bază #4

Valoarea lui tg⁡45∘\operatorname{tg}45^\circ este:
  1. A. 22\dfrac{\sqrt2}{2}
  2. B. 2\sqrt2
  3. C. 33\dfrac{\sqrt3}{3}
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: D. 11

Un unghi de 45∘45^\circ apare într-un triunghi dreptunghic isoscel, unde catetele sunt egale, deci tg⁡45∘=cc=1.\operatorname{tg}45^\circ=\frac{c}{c}=1. ✓ (22\dfrac{\sqrt2}{2} este sin⁡45∘=cos⁡45∘\sin 45^\circ=\cos 45^\circ, iar 33\dfrac{\sqrt3}{3} este tg⁡30∘\operatorname{tg}30^\circ.)

Trigonometrie de bază #5

Valoarea expresiei sin⁡60∘cos⁡30∘\dfrac{\sin 60^\circ}{\cos 30^\circ} este:
  1. A. 11
  2. B. 3\sqrt3
  3. C. 32\dfrac{\sqrt3}{2}
  4. D. 12\dfrac12
Rezolvare

Răspuns corect: A. 11

sin⁡60∘=32,cos⁡30∘=32,\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, sin⁡60∘cos⁡30∘=1.\frac{\sin 60^\circ}{\cos 30^\circ}=1. ✓ Egalitatea nu este întâmplătoare: 60∘60^\circ și 30∘30^\circ sunt unghiuri complementare, iar sin⁡α=cos⁡(90∘−α)\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha).

Trigonometrie de bază #6

Dacă xx este un unghi ascuțit cu sin⁡x=35\sin x=\dfrac35, atunci cos⁡x\cos x este:
  1. A. 1625\dfrac{16}{25}
  2. B. 45\dfrac45
  3. C. 25\dfrac25
  4. D. 34\dfrac34
Rezolvare

Răspuns corect: B. 45\dfrac45

cos⁡2x=1−sin⁡2x=1−925=1625,\cos^2x=1-\sin^2x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}, iar xx fiind ascuțit, cos⁡x>0\cos x>0: cos⁡x=45.\cos x=\frac45. ✓ (1625\dfrac{16}{25} este cos⁡2x\cos^2 x, nu cos⁡x\cos x — trebuie extras radicalul.)

Trigonometrie de bază #7

Dacă sin⁡x=35\sin x=\dfrac35 și cos⁡x=45\cos x=\dfrac45, atunci tg⁡x\operatorname{tg}x este:
  1. A. 1225\dfrac{12}{25}
  2. B. 34\dfrac34
  3. C. 54\dfrac54
  4. D. 43\dfrac43
Rezolvare

Răspuns corect: B. 34\dfrac34

tg⁡x=sin⁡xcos⁡x=3/54/5=35⋅54=34.\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3/5}{4/5}=\frac35\cdot\frac54=\frac34. ✓ (1225\dfrac{12}{25} este produsul sin⁡x⋅cos⁡x\sin x\cdot\cos x, iar 43=ctg⁡x\dfrac43=\operatorname{ctg}x.)

Trigonometrie de bază #8

Valoarea expresiei E=sin⁡240∘+cos⁡240∘+tg⁡45∘E=\sin^2 40^\circ+\cos^2 40^\circ+\operatorname{tg}45^\circ este:
  1. A. 11
  2. B. 33
  3. C. 00
  4. D. 22
Rezolvare

Răspuns corect: D. 22

Din identitatea fundamentală, pentru orice unghi: sin⁡240∘+cos⁡240∘=1.\sin^2 40^\circ+\cos^2 40^\circ=1. Cum tg⁡45∘=1\operatorname{tg}45^\circ=1, rezultă E=1+1=2.E=1+1=2. ✓ Morala: unghiul de 40∘40^\circ este acolo doar ca să descurajeze calculul — identitatea nu depinde de el.

Trigonometrie de bază #9

Valoarea expresiei sin⁡60∘+cos⁡60∘\sin 60^\circ+\cos 60^\circ este:
  1. A. 3−12\dfrac{\sqrt3-1}{2}
  2. B. 3+12\dfrac{\sqrt3+1}{2}
  3. C. 11
  4. D. 32\dfrac{\sqrt3}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: B. 3+12\dfrac{\sqrt3+1}{2}

sin⁡60∘+cos⁡60∘=32+12=3+12.\sin 60^\circ+\cos 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12=\frac{\sqrt3+1}{2}. ✓ Numeric: 1,732+12≈1,37\dfrac{1{,}732+1}{2}\approx 1{,}37 — mai mare decât 11, ceea ce elimină imediat variantele 11 și 32≈0,87\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0{,}87.

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 7-a