pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 8-a

Exerciții rezolvate cu ecuații de gradul ii — clasa a 8-a

Pe această pagină găsești 14 exerciții rezolvate cu ecuații de gradul ii pentru clasa a 8-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de Evaluare Națională. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Ecuații de gradul II #1

Rezolvați ecuația x2−7x+12=0x^2 - 7x + 12 = 0.
  1. A. {2,6}\{2, 6\}
  2. B. {3,4}\{3, 4\}
  3. C. {−3,−4}\{-3, -4\}
  4. D. {1,12}\{1, 12\}
Rezolvare

Răspuns corect: B. {3,4}\{3, 4\}

Numerele 33 și 44 au suma 77 și produsul 1212, deci x2−7x+12=(x−3)(x−4)x^2-7x+12 = (x-3)(x-4), iar soluțiile ecuației sunt x∈{3,4}x \in \{3, 4\}.

Ecuații de gradul II #2

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x2−7x+12=0x^2-7x+12=0 este:
  1. A. {3,4}\{3,4\}
  2. B. {−3,−4}\{-3,-4\}
  3. C. {−3,4}\{-3,4\}
  4. D. {1,12}\{1,12\}
  5. E. {−4,3}\{-4,3\}
Rezolvare

Răspuns corect: A. {3,4}\{3,4\}

Cu a=1a=1, b=−7b=-7, c=12c=12 avem Δ=(−7)2−4⋅1⋅12=49−48=1\Delta=(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1. x1,2=7±12=7±12.x_{1,2}=\dfrac{7\pm\sqrt{1}}{2}=\dfrac{7\pm 1}{2}. Obținem x1=62=3x_1=\dfrac{6}{2}=3 și x2=82=4x_2=\dfrac{8}{2}=4, deci {3,4}.\{3,4\}.

Ecuații de gradul II #3

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x2−9=0x^2-9=0 este:
  1. A. {−3,3}\{-3,3\}
  2. B. {3}\{3\}
  3. C. {9}\{9\}
  4. D. {−9,9}\{-9,9\}
  5. E. {−3}\{-3\}
Rezolvare

Răspuns corect: A. {−3,3}\{-3,3\}

Trecem termenul liber în membrul drept: x2=9x^2=9. x=±9=±3.x=\pm\sqrt{9}=\pm 3. Deci mulțimea soluțiilor este {−3,3}.\{-3,3\}.

Ecuații de gradul II #4

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației 2x2−8x=02x^2-8x=0 este:
  1. A. {0,4}\{0,4\}
  2. B. {4}\{4\}
  3. C. {0,2}\{0,2\}
  4. D. {0,−4}\{0,-4\}
  5. E. {−4,4}\{-4,4\}
Rezolvare

Răspuns corect: A. {0,4}\{0,4\}

Dăm factor comun 2x2x: 2x(x−4)=02x(x-4)=0. Un produs este nul când un factor este nul: 2x=0 ⇒ x=0,x−4=0 ⇒ x=4.2x=0\ \Rightarrow\ x=0,\qquad x-4=0\ \Rightarrow\ x=4. Deci mulțimea soluțiilor este {0,4}.\{0,4\}.

Ecuații de gradul II #5

Rădăcina pozitivă a ecuației x2+x−6=0x^2+x-6=0 este:
  1. A. 22
  2. B. −3-3
  3. C. 33
  4. D. 66
  5. E. −2-2
Rezolvare

Răspuns corect: A. 22

Cu a=1a=1, b=1b=1, c=−6c=-6 avem Δ=12−4⋅1⋅(−6)=1+24=25\Delta=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25. x1,2=−1±252=−1±52.x_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\dfrac{-1\pm 5}{2}. Obținem x1=42=2x_1=\dfrac{4}{2}=2 și x2=−62=−3x_2=\dfrac{-6}{2}=-3. Rădăcina pozitivă este 2.2.

Ecuații de gradul II #6

Numărul de rădăcini reale ale ecuației x2−6x+9=0x^2-6x+9=0 este:
  1. A. 11
  2. B. 22
  3. C. 00
  4. D. 33
  5. E. 44
Rezolvare

Răspuns corect: A. 11

Cu a=1a=1, b=−6b=-6, c=9c=9 calculăm Δ=(−6)2−4⋅1⋅9=36−36=0.\Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0. Cum Δ=0\Delta=0, ecuația are o singură rădăcină reală (dublă), deci numărul de rădăcini distincte este 1.1.

Ecuații de gradul II #7

Valoarea discriminantului ecuației x2−5x+7=0x^2-5x+7=0 este:
  1. A. −3-3
  2. B. 33
  3. C. 5353
  4. D. −53-53
  5. E. 1111
Rezolvare

Răspuns corect: A. −3-3

Identificăm a=1a=1, b=−5b=-5, c=7c=7. Δ=(−5)2−4⋅1⋅7=25−28=−3.\Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 7=25-28=-3. Deci discriminantul este −3.-3.

Ecuații de gradul II #8

Valoarea reală a lui mm pentru care ecuația x2−4x+m=0x^2-4x+m=0 are o singură rădăcină reală este:
  1. A. 44
  2. B. −4-4
  3. C. 22
  4. D. 1616
  5. E. 88
Rezolvare

Răspuns corect: A. 44

Cu a=1a=1, b=−4b=-4, c=mc=m avem Δ=(−4)2−4⋅1⋅m=16−4m\Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot m=16-4m. Punem condiția Δ=0\Delta=0: 16−4m=0 ⇒ 4m=16 ⇒ m=4.16-4m=0\ \Rightarrow\ 4m=16\ \Rightarrow\ m=4. Deci m=4.m=4.

Ecuații de gradul II #9

Pentru rădăcinile x1x_1 și x2x_2 ale ecuației x2−10x+21=0x^2-10x+21=0, valoarea sumei x12+x22x_1^2+x_2^2 este:
  1. A. 5858
  2. B. 100100
  3. C. 142142
  4. D. 7979
  5. E. 121121
Rezolvare

Răspuns corect: A. 5858

Din Viète: x1+x2=10x_1+x_2=10 și x1x2=21x_1x_2=21. x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=102−2⋅21.x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10^2-2\cdot 21. =100−42=58.=100-42=58.

Ecuații de gradul II #10

Pentru rădăcinile x1x_1 și x2x_2 ale ecuației x2−8x+15=0x^2-8x+15=0, valoarea sumei 1x1+1x2\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2} este:
  1. A. 815\dfrac{8}{15}
  2. B. 158\dfrac{15}{8}
  3. C. −815-\dfrac{8}{15}
  4. D. −158-\dfrac{15}{8}
  5. E. 115\dfrac{1}{15}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 815\dfrac{8}{15}

Din Viète: x1+x2=8x_1+x_2=8 și x1x2=15x_1x_2=15. Aducem suma fracțiilor la același numitor: 1x1+1x2=x1+x2x1x2=815.\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{8}{15}.

Ecuații de gradul II #11

Știind că una dintre rădăcinile ecuației x2−5x+m=0x^2-5x+m=0 este 44, cealaltă rădăcină este:
  1. A. 11
  2. B. 44
  3. C. 55
  4. D. −1-1
  5. E. 99
Rezolvare

Răspuns corect: A. 11

Notăm rădăcinile x1=4x_1=4 și x2x_2. Din relația sumei, x1+x2=5 ⇒ 4+x2=5.x_1+x_2=5\ \Rightarrow\ 4+x_2=5. x2=5−4=1.x_2=5-4=1.

Ecuații de gradul II #12

Mulțimea soluțiilor ecuației x2=3xx^2=3x este:
  1. A. {3}\{3\}
  2. B. {0}\{0\}
  3. C. {−3, 3}\{-3,\,3\}
  4. D. {0, 3}\{0,\,3\}
Rezolvare

Răspuns corect: D. {0, 3}\{0,\,3\}

x2−3x=0  ⟺  x(x−3)=0 ⇒ x=0 sau x=3.x^2-3x=0\iff x(x-3)=0\ \Rightarrow\ x=0\ \text{sau}\ x=3. S={0, 3}.S=\{0,\,3\}. ✓ Împărțind prin xx s-ar obține doar x=3x=3 — soluția x=0x=0 s-ar pierde, fiindcă împărțirea la zero nu este permisă.
În aplicațieÎncă 2 exerciții cu ecuații de gradul iiIntră în cont și continui direct de la ecuații de gradul ii — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 8-a