pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 8-a

Exerciții rezolvate cu geometrie în spațiu — clasa a 8-a

Pe această pagină găsești 32 exerciții rezolvate cu geometrie în spațiu pentru clasa a 8-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de Evaluare Națională. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Geometrie în spațiu #1

Un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' are dimensiunile AB=3 cmAB=3\ \text{cm}, AD=4 cmAD=4\ \text{cm} și AA′=12 cmAA'=12\ \text{cm}. Care este lungimea diagonalei spațiale AC′AC'?
  1. A. 13 cm13\ \text{cm}
  2. B. 5 cm5\ \text{cm}
  3. C. 169 cm169\ \text{cm}
  4. D. 19 cm19\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 13 cm13\ \text{cm}

D=32+42+122=9+16+144=169=13 cm.D = \sqrt{3^2+4^2+12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13\ \text{cm}.

Geometrie în spațiu #2

Un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' are AB=3 cmAB = 3\ \text{cm}, BC=4 cmBC = 4\ \text{cm} și AA′=12 cmAA' = 12\ \text{cm}. Cât este lungimea diagonalei AC′AC'?
  1. A. 13 cm13\ \text{cm}
  2. B. 5 cm5\ \text{cm}
  3. C. 19 cm19\ \text{cm}
  4. D. 169 cm169\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 13 cm13\ \text{cm}

AC′=32+42+122=9+16+144=169=13 cm.AC' = \sqrt{3^2+4^2+12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13\ \text{cm}.

Geometrie în spațiu #3

Un trunchi de con are raza bazei mari r1=6 cmr_1=6\ \text{cm}, raza bazei mici r2=3 cmr_2=3\ \text{cm} și înălțimea h=4 cmh=4\ \text{cm}. Care este volumul trunchiului de con?
  1. A. 60π cm360\pi\ \text{cm}^3
  2. B. 84π cm384\pi\ \text{cm}^3
  3. C. 96π cm396\pi\ \text{cm}^3
  4. D. 108π cm3108\pi\ \text{cm}^3
Rezolvare

Răspuns corect: B. 84π cm384\pi\ \text{cm}^3

V=π⋅43(62+6⋅3+32)=4π3⋅63=84π cm3V=\dfrac{\pi\cdot4}{3}\left(6^2+6\cdot3+3^2\right)=\dfrac{4\pi}{3}\cdot63=84\pi\ \text{cm}^3.

Geometrie în spațiu #4

Cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' are muchia de 6 cm6\ \text{cm}, iar MM este mijlocul muchiei B′C′B'C'. Care este distanța de la vârful AA la punctul MM?
  1. A. 9 cm9\ \text{cm}
  2. B. 62 cm6\sqrt{2}\ \text{cm}
  3. C. 35 cm3\sqrt{5}\ \text{cm}
  4. D. 63 cm6\sqrt{3}\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 9 cm9\ \text{cm}

Diagonala feței ABB′A′ABB'A' este AB′=62 cmAB' = 6\sqrt{2}\ \text{cm}, iar B′MB'M este jumătate din muchia B′C′B'C', deci B′M=3 cmB'M = 3\ \text{cm}. Deoarece B′C′⊥B'C' \perp planul (ABB′A′)(ABB'A'), triunghiul AB′MAB'M este dreptunghic în B′B': AM2=AB′2+B′M2=(62)2+32=72+9=81,AM^2 = AB'^2 + B'M^2 = \left(6\sqrt{2}\right)^2 + 3^2 = 72 + 9 = 81, de unde AM=9 cmAM = 9\ \text{cm}.

Geometrie în spațiu #5

Cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' are muchia de 6textcm6\\ \\text{cm}. Care este distanța de la vârful AA la dreapta BD′BD'?
  1. A. 26 cm2\sqrt{6}\ \text{cm}
  2. B. 6 cm6\ \text{cm}
  3. C. 62 cm6\sqrt{2}\ \text{cm}
  4. D. 63 cm6\sqrt{3}\ \text{cm}
  5. E. 36 cm3\sqrt{6}\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 26 cm2\sqrt{6}\ \text{cm}

Muchia ABAB este perpendiculară pe fața ADD′A′ADD'A', deci ABperpAD′AB\\perp AD': triunghiul ABD′ABD' este dreptunghic în AA. Catetele sunt AB=6textcmAB=6\\ \\text{cm} și AD′=6sqrt2textcmAD'=6\\sqrt{2}\\ \\text{cm} (diagonala feței ADD′A′ADD'A'), iar ipotenuza este BD′=6sqrt3textcmBD'=6\\sqrt{3}\\ \\text{cm} (diagonala cubului). Distanța de la AA la dreapta BD′BD' este înălțimea din AA pe ipotenuză: d=dfracABcdotAD′BD′=dfrac6cdot6sqrt26sqrt3=dfrac6sqrt2sqrt3=2sqrt6textcm.d=\\dfrac{AB\\cdot AD'}{BD'}=\\dfrac{6\\cdot 6\\sqrt{2}}{6\\sqrt{3}}=\\dfrac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}=2\\sqrt{6}\\ \\text{cm}.

Geometrie în spațiu #6

O piramidă patrulateră regulată VABCDVABCD are latura bazei 4 cm4\ \text{cm} și înălțimea 23 cm2\sqrt{3}\ \text{cm}. Cât măsoară unghiul diedru dintre o față laterală și planul bazei?
  1. A. 60°60°
  2. B. 30°30°
  3. C. 45°45°
  4. D. 90°90°
Rezolvare

Răspuns corect: A. 60°60°

Fie OO centrul bazei și MM mijlocul laturii ABAB. Atunci OM=42=2 cmOM = \dfrac{4}{2} = 2\ \text{cm}, iar VO⊥(ABC)VO \perp (ABC), cu VO=23 cmVO = 2\sqrt{3}\ \text{cm}. Cum OM⊥ABOM \perp AB și, conform teoremei celor trei perpendiculare, VM⊥ABVM \perp AB, unghiul diedru dintre fața laterală (VAB)(VAB) și bază este ∠VMO\angle VMO. tg⁡(∠VMO)=VOOM=232=3⇒∠VMO=60°.\tg(\angle VMO) = \dfrac{VO}{OM} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \Rightarrow \angle VMO = 60°.

Geometrie în spațiu #7

Cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' are muchia 6 cm6\ \text{cm}. Care este distanța de la vârful AA la planul (BDD′B′)(BDD'B')?
  1. A. 32 cm3\sqrt{2}\ \text{cm}
  2. B. 62 cm6\sqrt{2}\ \text{cm}
  3. C. 3 cm3\ \text{cm}
  4. D. 33 cm3\sqrt{3}\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 32 cm3\sqrt{2}\ \text{cm}

Planul (BDD′B′)(BDD'B') este perpendicular pe baza ABCDABCD și conține diagonala BDBD, deci distanța căutată este distanța de la AA la dreapta BDBD, calculată în pătrat. Diagonala pătratului: BD=62 cm.BD = 6\sqrt{2}\ \text{cm}. Aria triunghiului ABDABD este jumătate din aria pătratului: AABD=622=18 cm2A_{ABD} = \dfrac{6^2}{2} = 18\ \text{cm}^2. Distanța de la AA la BDBD: d=2⋅AABDBD=3662=32 cm.d = \dfrac{2 \cdot A_{ABD}}{BD} = \dfrac{36}{6\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\ \text{cm}.

Geometrie în spațiu #8

O piramidă patrulateră regulată VABCDVABCD are baza un pătrat cu latura de 8 cm8\ \text{cm}, iar apotema piramidei (înălțimea unei fețe laterale) este de 8 cm8\ \text{cm}. Care este măsura unghiului diedru dintre o față laterală și planul bazei?
  1. A. 60°60°
  2. B. 30°30°
  3. C. 45°45°
  4. D. 90°90°
Rezolvare

Răspuns corect: A. 60°60°

Fie OO proiecția vârfului VV pe planul bazei (centrul pătratului ABCDABCD) și MM mijlocul laturii ABAB. Atunci OM⊥ABOM \perp AB, cu OM=a2=4 cmOM = \dfrac{a}{2} = 4\ \text{cm}, iar din teorema celor trei perpendiculare (VO⊥VO \perp baza, OM⊥ABOM \perp AB) rezultă VM⊥ABVM \perp AB, deci unghiul diedru căutat este ∠VMO\angle VMO. În triunghiul dreptunghic VOMVOM (drept în OO): VO=VM2−OM2=82−42=48=43 cm.VO = \sqrt{VM^2 - OM^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt3\ \text{cm}. tan⁡(∠VMO)=VOOM=434=3 ⇒ ∠VMO=60°.\tan(\angle VMO) = \dfrac{VO}{OM} = \dfrac{4\sqrt3}{4} = \sqrt3 \ \Rightarrow\ \angle VMO = 60°.

Geometrie în spațiu #9

O piramidă triunghiulară regulată VABCVABC are latura bazei a=6 cma=6\ \text{cm} și înălțimea piramidei h=3 cmh=3\ \text{cm}. Cât măsoară unghiul diedru dintre planul unei fețe laterale și planul bazei?
  1. A. 60∘60^\circ
  2. B. 30∘30^\circ
  3. C. 45∘45^\circ
  4. D. 90∘90^\circ
Rezolvare

Răspuns corect: A. 60∘60^\circ

Fie OO centrul triunghiului echilateral ABCABC (piciorul înălțimii VOVO) și MM mijlocul laturii BCBC. Apotema bazei este OM=a36=636=3 cm.OM = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\ \text{cm}. Conform teoremei celor trei perpendiculare, VM⊥BCVM\perp BC, deci unghiul diedru dintre planul (VBC)(VBC) și planul bazei este VMO^\widehat{VMO}: tan⁡(VMO^)=VOOM=33=3⇒VMO^=60∘.\tan(\widehat{VMO}) = \dfrac{VO}{OM} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{VMO} = 60^\circ.

Geometrie în spațiu #10

Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza ABCDABCD, fața A′B′C′D′A'B'C'D' și muchiile laterale AA′AA', BB′BB', CC′CC', DD′DD'. Câte dintre cele 1212 muchii ale cubului sunt necoplanare cu diagonala AC′AC'?
  1. A. 66
  2. B. 99
  3. C. 33
  4. D. 1212
  5. E. 44
Rezolvare

Răspuns corect: A. 66

Muchiile care au un capăt comun cu diagonala AC′AC' sunt concurente cu ea, deci nu sunt necoplanare: cele ce pornesc din AA (ABAB, ADAD, AA′AA') și cele ce pornesc din C′C' (C′B′C'B', C′D′C'D', C′CC'C) — în total 66 muchii. Celelalte 12−6=612-6=6 muchii (BCBC, CDCD, A′B′A'B', D′A′D'A', BB′BB', DD′DD') nu ating diagonala AC′AC' și nu au direcția ei (nicio muchie a cubului nu poate fi paralelă cu o diagonală spațială), deci toate sunt necoplanare cu AC′AC'. 66

Geometrie în spațiu #11

Un trunchi de con provine dintr-un con circular drept cu raza bazei de 88 cm și înălțimea de 1212 cm, secționat printr-un plan paralel cu baza, la jumătatea distanței dintre vârf și bază. Cât este volumul trunchiului de con?
  1. A. 224π cm3224\pi\text{ }\allowbreak{}\text{cm}^3
  2. B. 160π cm3160\pi\text{ }\allowbreak{}\text{cm}^3
  3. C. 448π cm3448\pi\text{ }\allowbreak{}\text{cm}^3
  4. D. 168π cm3168\pi\text{ }\allowbreak{}\text{cm}^3
  5. E. 256π cm3256\pi\text{ }\allowbreak{}\text{cm}^3
Rezolvare

Răspuns corect: A. 224π cm3224\pi\text{ }\allowbreak{}\text{cm}^3

Conul mic este asemenea cu conul inițial, la raportul liniar 1:21:2 (planul taie exact la jumătatea înălțimii), deci raza sa este r=8⋅12=4r = 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 4 cm, iar înălțimea trunchiului este h=12−6=6h = 12 - 6 = 6 cm. V=h3(πR2+πr2+πRr)=63(64π+16π+32π)=2⋅112π=224π cm3.V = \dfrac{h}{3}\left(\pi R^2 + \pi r^2 + \pi R r\right) = \dfrac{6}{3}\left(64\pi + 16\pi + 32\pi\right) = 2 \cdot 112\pi = 224\pi \text{ cm}^3.

Geometrie în spațiu #12

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 88 cm și 44 cm. Raportul ariilor celor două baze este:
  1. A. 22
  2. B. 44
  3. C. 12\dfrac12
  4. D. 88
Rezolvare

Răspuns corect: B. 44

ABAb=8242=6416=4.\frac{\mathcal A_B}{\mathcal A_b}=\frac{8^2}{4^2}=\frac{64}{16}=4. ✓ Echivalent: (84)2=22=4\left(\dfrac84\right)^2=2^2=4 — raportul laturilor este 22, dar al ariilor este 44.
În aplicațieÎncă 20 exerciții cu geometrie în spațiuIntră în cont și continui direct de la geometrie în spațiu — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 8-a