Exerciții rezolvate cu funcția de gradul i — clasa a 9-a

$2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$.

$3x = 14 - 5 = 9 \Rightarrow x = 3$.

$2x > 8 \Rightarrow x > 4$, deci mulțimea soluțiilor este $(4, +\infty)$.

Adunând: $3x = 6 \Rightarrow x = 2$. Apoi $y = 5 - 2 = 3$. Deci $(x, y) = (2, 3)$.

$m = \dfrac{11 - 2}{4 - 1} = \dfrac{9}{3} = 3$.

$2x - 1 = 5 \Rightarrow x = 3$, sau $2x - 1 = -5 \Rightarrow x = -2$. Mulțimea soluțiilor: $\{-2, 3\}$.

$|x - 2| < 3 \Leftrightarrow -3 < x - 2 < 3 \Leftrightarrow -1 < x < 5$. Mulțimea soluțiilor este $(-1, 5)$.

Scăzând: $5y = 15 \Rightarrow y = 3$. Apoi $3x = y = 3 \Rightarrow x = 1$. Deci $A = 1 + 9 = 10$.

Coeficientul lui $x$ se anulează pentru $m-1=0$, adică $m=1$. Pentru $m=1$, membrul drept devine $2\cdot1+3=5\ne0$, deci ecuația devine $0\cdot x=5$, imposibilă — nicio soluție. Pentru orice $m\ne1$, ecuația are soluția unică $x=\dfrac{2m+3}{m-1}$. Verificare: la $m=1$ obținem $0=5$, fals pentru orice $x$. ✓

Pentru $x\in[1,5)$, avem $n=\lfloor x\rfloor\in\{1,2,3,4\}$. Ecuația $n\cdot f=\dfrac34$ dă $f=\dfrac{3}{4n}$, care trebuie să fie în $[0,1)$. Pentru fiecare valoare a lui $n$: $n=1\Rightarrow f=\frac34$ (valid, $x=\frac74$); $n=2\Rightarrow f=\frac38$ (valid, $x=\frac{19}{8}$); $n=3\Rightarrow f=\frac14$ (valid, $x=\frac{13}{4}$); $n=4\Rightarrow f=\frac{3}{16}$ (valid, $x=\frac{67}{16}$). Toate cele $4$ valori ale lui $f$ sunt în $[0,1)$, deci ecuația are $4$ soluții reale în $[1,5)$: $x\in\left\{\frac74,\frac{19}{8},\frac{13}{4},\frac{67}{16}\right\}$. Verificare: pentru fiecare, $\lfloor x\rfloor\cdot\{x\}=n\cdot\frac{3}{4n}=\frac34$. ✓

Rescriem ecuația ca $(m-2)x=(m-2)(m+2)$. - Dacă $m\ne 2$: împărțim prin $m-2\ne0$ și obținem soluția unică $x=m+2$. - Dacă $m=2$: ecuația devine $0\cdot x=0$, adevărată pentru orice $x\in\mathbb{R}$ — deci infinite soluții, nu "nicio soluție". Așadar, pentru orice valoare a lui $m$ (fie ea diferită de $2$, fie egală cu $2$), ecuația are cel puțin o soluție. Nu există niciun $m$ pentru care ecuația să fie imposibilă. Numărul de valori întregi din $[-10,10]$ care dau "nicio soluție" este $\boxed{0}$. Verificare (scanare $m=-10,\dots,10$): pentru fiecare, fie soluție unică $x=m+2$ (când $m\ne2$), fie infinite soluții (la $m=2$) — niciodată "fără soluție". ✓

Fie $g(x)=|x-1|-|x-3|$. - Pentru $x\le 1$: $g(x)=(1-x)-(3-x)=-2$ (constant). - Pentru $x\ge 3$: $g(x)=(x-1)-(x-3)=2$ (constant). - Pentru $x\in(1,3)$: $g(x)=(x-1)-(3-x)=2x-4$, care variază strict crescător de la $-2$ (exclus) la $2$ (exclus). Ecuația $|g(x)|=2$ cere $g(x)=2$ sau $g(x)=-2$. - $g(x)=2$: se atinge pentru orice $x\ge 3$ (platou constant), plus limita din interior nu se atinge strict. - $g(x)=-2$: se atinge pentru orice $x\le 1$. Deci mulțimea soluțiilor este $(-\infty,1]\cup[3,\infty)$ — o infinitate de soluții. Verificare numerică: $x=-5\Rightarrow g=-2$ ✓; $x=100\Rightarrow g=2$ ✓; $x=2$ (mijloc) $\Rightarrow g=0$, $|g|=0\ne 2$, deci intervalul $(1,3)$ nu contribuie cu soluții (cu excepția capetelor $1,3$ deja incluse). ✓