pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 9-a

Exerciții rezolvate cu logică și inducție — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 48 exerciții rezolvate cu logică și inducție pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Logică și inducție #1

Fie pp: „orice număr prim este impar" și qq: „3+4=73 + 4 = 7". Valoarea de adevăr a lui p∧qp \wedge q este:
  1. A. Adeva˘rat\text{Adevărat}
  2. B. Fals\text{Fals}
  3. C. Nu se poate determina\text{Nu}\text{ }\allowbreak{}\text{se}\text{ }\allowbreak{}\text{poate}\text{ }\allowbreak{}\text{determina}
  4. D. Ataˆt adeva˘rat, caˆt și fals\text{Atât}\text{ }\allowbreak{}\text{adevărat,}\text{ }\allowbreak{}\text{cât}\text{ }\allowbreak{}\text{și}\text{ }\allowbreak{}\text{fals}
Rezolvare

Răspuns corect: B. Fals\text{Fals}

pp este falsă (deoarece 22 este prim și par), qq este adevărată. Din tabelul de adevăr al conjuncției, fals∧adeva˘rat=fals\text{fals} \wedge \text{adevărat} = \text{fals}.

Logică și inducție #2

Fie A={1,2,3,5}A = \{1, 2, 3, 5\} și B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\}. Atunci A∩BA \cap B este egal cu:
  1. A. {1,2,3,5,7}\{1, 2, 3, 5, 7\}
  2. B. {2,3,5}\{2, 3, 5\}
  3. C. {1,7}\{1, 7\}
  4. D. ∅\emptyset
Rezolvare

Răspuns corect: B. {2,3,5}\{2, 3, 5\}

A∩BA \cap B conține elementele comune ambelor mulțimi: {2,3,5}\{2, 3, 5\}.

Logică și inducție #3

Negația propoziției „pentru orice număr real xx, x2+1>0x^2 + 1 > 0" este:
  1. A. Pentru orice x real, x2+1≤0\text{Pentru}\text{ }\allowbreak{}\text{orice}\text{ }\allowbreak{}x\text{ }\allowbreak{}\text{real,}\text{ }\allowbreak{}x^2 + 1 \le 0
  2. B. Exista˘ un x real astfel ıˆncaˆt x2+1≤0\text{Există}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}x\text{ }\allowbreak{}\text{real}\text{ }\allowbreak{}\text{astfel}\text{ }\allowbreak{}\text{încât}\text{ }\allowbreak{}x^2 + 1 \le 0
  3. C. Exista˘ un x real astfel ıˆncaˆt x2+1>0\text{Există}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}x\text{ }\allowbreak{}\text{real}\text{ }\allowbreak{}\text{astfel}\text{ }\allowbreak{}\text{încât}\text{ }\allowbreak{}x^2 + 1 > 0
  4. D. Pentru orice x real, x2+1<0\text{Pentru}\text{ }\allowbreak{}\text{orice}\text{ }\allowbreak{}x\text{ }\allowbreak{}\text{real,}\text{ }\allowbreak{}x^2 + 1 < 0
Rezolvare

Răspuns corect: B. Exista˘ un x real astfel ıˆncaˆt x2+1≤0\text{Există}\text{ }\allowbreak{}\text{un}\text{ }\allowbreak{}x\text{ }\allowbreak{}\text{real}\text{ }\allowbreak{}\text{astfel}\text{ }\allowbreak{}\text{încât}\text{ }\allowbreak{}x^2 + 1 \le 0

Negația lui ∀\forall este ∃\exists; negația lui >> este ≤\le. Deci negația este ∃x∈R: x2+1≤0\exists x \in \mathbb{R}:\ x^2 + 1 \le 0. (Această propoziție este ea însăși falsă, dar întrebarea cerea negația, nu valoarea ei de adevăr.)

Logică și inducție #4

Care dintre următoarele afirmații este echivalentă logic cu „dacă n2n^2 este par, atunci nn este par"?
  1. A. Daca˘ n este par, atunci n2 este par\text{Dacă}\text{ }\allowbreak{}n\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{par,}\text{ }\allowbreak{}\text{atunci}\text{ }\allowbreak{}n^2\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{par}
  2. B. Daca˘ n este impar, atunci n2 este impar\text{Dacă}\text{ }\allowbreak{}n\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{impar,}\text{ }\allowbreak{}\text{atunci}\text{ }\allowbreak{}n^2\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{impar}
  3. C. Daca˘ n2 este impar, atunci n este par\text{Dacă}\text{ }\allowbreak{}n^2\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{impar,}\text{ }\allowbreak{}\text{atunci}\text{ }\allowbreak{}n\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{par}
  4. D. n este par daca˘ și numai daca˘ n2 este imparn\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{par}\text{ }\allowbreak{}\text{dacă}\text{ }\allowbreak{}\text{și}\text{ }\allowbreak{}\text{numai}\text{ }\allowbreak{}\text{dacă}\text{ }\allowbreak{}n^2\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{impar}
Rezolvare

Răspuns corect: B. Daca˘ n este impar, atunci n2 este impar\text{Dacă}\text{ }\allowbreak{}n\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{impar,}\text{ }\allowbreak{}\text{atunci}\text{ }\allowbreak{}n^2\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{impar}

Contrapoziția lui „n2n^2 par ⇒\Rightarrow nn par" este „nn impar ⇒\Rightarrow n2n^2 impar". O propoziție și contrapoziția sa au întotdeauna aceeași valoare de adevăr.

Logică și inducție #5

Presupunem că 1+2+⋯+k=k(k+1)21 + 2 + \cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2} (ipoteza de inducție). Pentru a finaliza pasul inductiv trebuie să arătăm că 1+2+⋯+(k+1)1 + 2 + \cdots + (k+1) este egal cu:
  1. A. (k+1)(k+2)2\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}
  2. B. k(k+1)2+1\dfrac{k(k+1)}{2} + 1
  3. C. (k+1)22\dfrac{(k+1)^2}{2}
  4. D. (k+1)(k+2)(k+1)(k+2)
Rezolvare

Răspuns corect: A. (k+1)(k+2)2\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}

Formula țintă pentru n=k+1n = k+1 este (k+1)((k+1)+1)2=(k+1)(k+2)2\dfrac{(k+1)\big((k+1)+1\big)}{2} = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}. (Și într-adevăr k(k+1)2+(k+1)=(k+1)(k+2)2\dfrac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}, finalizând pasul.)

Logică și inducție #6

Formula 13+23+⋯+n3=[n(n+1)2]21^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2 este adevărată pentru orice n≥1n \ge 1. Calculați 13+23+33+431^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3.
  1. A. 100100
  2. B. 144144
  3. C. 3636
  4. D. 10241024
Rezolvare

Răspuns corect: A. 100100

[4⋅52]2=102=100\left[\dfrac{4 \cdot 5}{2}\right]^2 = 10^2 = 100. (Verificare directă: 1+8+27+64=1001 + 8 + 27 + 64 = 100.)

Logică și inducție #7

Prin inducție se poate demonstra că n3−nn^3 - n este divizibil cu 66 pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}. Calculați 103−106\dfrac{10^3 - 10}{6}.
  1. A. 165165
  2. B. 166166
  3. C. 100100
  4. D. 200200
Rezolvare

Răspuns corect: A. 165165

103−10=99010^3 - 10 = 990, și 990/6=165990 / 6 = 165. Demonstrația prin inducție factorizează n3−n=(n−1)n(n+1)n^3 - n = (n-1)n(n+1), care este produsul a trei întregi consecutivi și este prin urmare divizibil atât cu 22, cât și cu 33, deci cu 66.

Logică și inducție #8

Demonstrați prin inducție că 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} pentru orice n≥1n \ge 1. Folosind aceasta, calculați 1⋅2+2⋅3+3⋅4+4⋅51 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5.
  1. A. 3030
  2. B. 4040
  3. C. 5050
  4. D. 6060
Rezolvare

Răspuns corect: B. 4040

4⋅5⋅63=1203=40\dfrac{4 \cdot 5 \cdot 6}{3} = \dfrac{120}{3} = 40. (Direct: 2+6+12+20=402 + 6 + 12 + 20 = 40.)

Logică și inducție #9

Se demonstrează prin inducție matematică formula 12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)61^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6. Folosind-o, suma 12+22+⋯+1521^2+2^2+\cdots+15^2 este egală cu:
  1. A. 12251225
  2. B. 12401240
  3. C. 12001200
  4. D. 13601360
Rezolvare

Răspuns corect: B. 12401240

15⋅16⋅316=74406=1240.\frac{15\cdot16\cdot31}6=\frac{7440}6=1240. Verificare: calcul direct al sumei pătratelor 12+22+⋯+1521^2+2^2+\cdots+15^2 dă tot 12401240. ✓

Logică și inducție #10

Se demonstrează prin inducție matematică formula 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31\cdot2+2\cdot3+\cdots+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}3. Cel mai mic număr natural nn pentru care suma depășește 10001000 este:
  1. A. 1313
  2. B. 1515
  3. C. 1010
  4. D. 1414
Rezolvare

Răspuns corect: D. 1414

Pentru n=13n=13: 13⋅14⋅153=27303=910<1000.\frac{13\cdot14\cdot15}3=\frac{2730}3=910<1000. Pentru n=14n=14: 14⋅15⋅163=33603=1120>1000.\frac{14\cdot15\cdot16}3=\frac{3360}3=1120>1000. Deci cel mai mic nn pentru care suma depășește 10001000 este n=14n=14. Verificare: 910<1000<1120910<1000<1120, iar la n=13n=13 suma încă nu ajunge la 10001000. ✓

Logică și inducție #11

Pentru perechile (a,b)(a,b) cu a,b∈{1,2,3,4,5}a,b\in\{1,2,3,4,5\} și a<ba<b, câte dintre ele fac propoziția (a<b)→(a+b este par)(a<b)\to(a+b \text{ este par}) falsă?
  1. A. 44
  2. B. 1010
  3. C. 88
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: D. 66

Cum a<ba<b este mereu adevărată, implicația e falsă exact când a+ba+b e impar, adică aa și bb au parități diferite. Din {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\}: elementele impare sunt {1,3,5}\{1,3,5\}, cele pare {2,4}\{2,4\}. Perechile a<ba<b cu parități diferite sunt (1,2),(1,4),(2,3),(2,5),(3,4),(4,5)(1,2),(1,4),(2,3),(2,5),(3,4),(4,5), deci 66 perechi. (Verificare: total sunt C52=10\binom{5}{2}=10 perechi cu a<ba<b, dintre care 66 au sumă impară și 44 au sumă pară.)

Logică și inducție #12

Câte dintre cele 88 triplete de valori de adevăr (p,q,r)∈{A,F}3(p,q,r)\in\{A,F\}^3 fac ca propoziția (p→q)∧(q→r)∧(r→p)(p\to q)\wedge(q\to r)\wedge(r\to p) să aibă o valoare de adevăr diferită de propoziția (p↔q)∧(q↔r)(p\leftrightarrow q)\wedge(q\leftrightarrow r)?
  1. A. 22
  2. B. 00
  3. C. 44
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: B. 00

Dacă (p→q)∧(q→r)∧(r→p)(p\to q)\wedge(q\to r)\wedge(r\to p) e adevărată, atunci p,q,rp,q,r au aceeași valoare de adevăr: presupunând p=Ap=A, din p→qp\to q rezultă q=Aq=A, din q→rq\to r rezultă r=Ar=A; presupunând p=Fp=F, din r→pr\to p (contrapoziție) rezultă r=Fr=F, apoi din q→rq\to r rezultă q=Fq=F. Deci formula e adevărată exact când p=q=rp=q=r — condiție identică cu (p↔q)∧(q↔r)(p\leftrightarrow q)\wedge(q\leftrightarrow r). Cele două formule sunt logic echivalente, deci au aceeași valoare de adevăr pe toate cele 88 triplete: diferă în 00 cazuri. (Verificare directă prin tabelul de adevăr complet pe cele 88 combinații confirmă egalitatea perfectă.)
În aplicațieÎncă 36 exerciții cu logică și inducțieIntră în cont și continui direct de la logică și inducție — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 9-a