Exerciții rezolvate cu mulțimi de numere reale — clasa a 9-a

$A \cup B$ este mulțimea elementelor din $A$, din $B$, sau din ambele: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Eliminând $2$ și $4$ din $A$ rămâne $\{1, 3, 5\}$.

$|A| = 4$, deci $A$ are $2^4 = 16$ submulțimi (inclusiv $\emptyset$ și $A$).

$|F \cup B| = 18 + 12 - 5 = 25$ joacă cel puțin unul. Deci $30 - 25 = 5$ nu joacă niciunul.

$|A \times B| = 3 \cdot 2 = 6$. Produsul este $\{(1,x),(1,y),(2,x),(2,y),(3,x),(3,y)\}$.

$A \cap B = \{2, 3\}$. Complementul față de $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ este $\{1, 4, 5\}$.

$(x - 3)(x + 3) \le 0 \Leftrightarrow x \in [-3, 3]$. Numerele întregi din acest interval sunt $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ — șapte valori.

Divizorii pozitivi ai lui $12$ sunt $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$, deci $|A| = 6$.

Multiplii lui $6$ până la $100$: $\left\lfloor\dfrac{100}{6}\right\rfloor=16$. Multiplii lui $8$ până la $100$: $\left\lfloor\dfrac{100}{8}\right\rfloor=12$. Multiplii comuni sunt multiplii lui $\operatorname{cmmmc}(6,8)=24$: $\left\lfloor\dfrac{100}{24}\right\rfloor=4$ (îi numărăm de două ori mai sus, deci trebuie scăzuți o dată). Prin principiul includerii-excluderii: $$|A| = 16+12-4 = 24.$$ Verificare: fără a scădea multiplii comuni am obține greșit $16+12=28$ (opțiune-capcană, dublă numărare a lui $24,48,72,96$). ✓

Analizăm fiecare opțiune: - $b-b=0$ — întotdeauna rațional (indiferent de $b$). - $\dfrac{b}{b}=1$ (valid, $b\neq0$ fiind irațional) — întotdeauna rațional. - $b^2$ — nu e întotdeauna irațional: pentru $b=\sqrt2$ (irațional), $b^2=2$ e rațional! Acesta e contraexemplul care elimină opțiunea. - $a\cdot b$ — întotdeauna irațional. Demonstrație prin reducere la absurd: dacă $ab=r\in\mathbb{Q}$, atunci, cum $a\neq0$ e rațional, $b=\dfrac{r}{a}$ ar fi un raport de raționale, deci rațional — contradicție cu $b\notin\mathbb{Q}$. Singura opțiune garantat irațională pentru orice alegere a lui $b$ irațional este $a\cdot b$. Verificare: cu $a=\dfrac37$, $b=\sqrt2$: $ab=\dfrac{3\sqrt2}{7}$, irațional ✓. Cu $b=1+\sqrt3$: $ab=\dfrac37+\dfrac{3\sqrt3}{7}$, tot irațional ✓. În schimb $b^2$ pentru $b=\sqrt2$ dă $2\in\mathbb{Q}$, confirmând că acea opțiune eșuează. ✓

$|A|=\left[\dfrac{100}{3}\right]=33$, $|B|=\left[\dfrac{100}{4}\right]=25$, $|A\cap B|=\left[\dfrac{100}{12}\right]=8$ (multiplii lui $12$). $$|A\cup B|=33+25-8=50.$$ Prin De Morgan, numărul elementelor care nu sunt nici în $A$, nici în $B$ este $$|\complement(A\cup B)|=|U|-|A\cup B|=100-50=50.$$ Verificare (enumerare directă): numărul de $n\in\{1,\dots,100\}$ cu $n\bmod 3\ne0$ și $n\bmod4\ne0$ este $50$. ✓

Pasul cheie de recunoaștere: raționalizăm fiecare termen în parte: $$\frac{1}{\sqrt k+\sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{(\sqrt{k+1}+\sqrt k)(\sqrt{k+1}-\sqrt k)} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{(k+1)-k} = \sqrt{k+1}-\sqrt k.$$ Suma devine telescopică: $$S = (\sqrt2-\sqrt1)+(\sqrt3-\sqrt2)+(\sqrt4-\sqrt3)+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99}).$$ Toți termenii intermediari se anulează în lanț, rămânând doar primul și ultimul: $$S = \sqrt{100}-\sqrt1 = 10-1 = 9.$$ Observația surprinzătoare: deși fiecare din cei $99$ de termeni ai sumei inițiale este un număr irațional (o fracție cu radicali la numitor), suma lor totală este exact numărul natural $9$ — anularea în lanț elimină complet iraționalitatea. Verificare numerică (calcul direct, primii și ultimii termeni): $\dfrac{1}{\sqrt1+\sqrt2}\approx0{,}4142$, $\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\approx0{,}0501$; suma completă a celor $99$ de termeni calculată numeric dă $9{,}000000$. ✓