pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 9-a

Exerciții rezolvate cu funcții — proprietăți generale — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 40 exerciții rezolvate cu funcții — proprietăți generale pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Funcții — proprietăți generale #1

Domeniul maximal al funcției f(x)=x−2f(x) = \sqrt{x - 2} este:
  1. A. R\mathbb{R}
  2. B. (−∞,2](-\infty, 2]
  3. C. [2,+∞)[2, +\infty)
  4. D. (2,+∞)(2, +\infty)
Rezolvare

Răspuns corect: C. [2,+∞)[2, +\infty)

Avem nevoie de x−2≥0x - 2 \ge 0, adică x≥2x \ge 2. Domeniul este [2,+∞)[2, +\infty).

Funcții — proprietăți generale #2

Pentru f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1, imaginea Im⁡(f)\operatorname{Im}(f) este:
  1. A. R\mathbb{R}
  2. B. (0,+∞)(0, +\infty)
  3. C. [1,+∞)[1, +\infty)
  4. D. [0,+∞)[0, +\infty)
Rezolvare

Răspuns corect: C. [1,+∞)[1, +\infty)

f(x)=x2+1≥1f(x) = x^2 + 1 \ge 1, cu egalitate doar în x=0x = 0. Deci Im⁡(f)=[1,+∞)\operatorname{Im}(f) = [1, +\infty).

Funcții — proprietăți generale #3

Considerați f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2f(x) = x^2. Care afirmație este corectă?
  1. A. f nu este nici injectiva˘, nici surjectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{nici}\text{ }\allowbreak{}\text{injectivă,}\text{ }\allowbreak{}\text{nici}\text{ }\allowbreak{}\text{surjectivă}
  2. B. f este injectiva˘ dar nu surjectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{injectivă}\text{ }\allowbreak{}\text{dar}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{surjectivă}
  3. C. f este surjectiva˘ dar nu injectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{surjectivă}\text{ }\allowbreak{}\text{dar}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{injectivă}
  4. D. f este bijectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{bijectivă}
Rezolvare

Răspuns corect: A. f nu este nici injectiva˘, nici surjectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{nici}\text{ }\allowbreak{}\text{injectivă,}\text{ }\allowbreak{}\text{nici}\text{ }\allowbreak{}\text{surjectivă}

f(−1)=1=f(1)f(-1) = 1 = f(1), deci ff nu este injectivă. Valoarea −1-1 nu are niciun preimage real (deoarece x2≥0x^2 \ge 0), deci ff nu este surjectivă.

Funcții — proprietăți generale #4

Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−6f(x) = 3x - 6. Inversa f−1f^{-1} este:
  1. A. f−1(y)=y3+6f^{-1}(y) = \dfrac{y}{3} + 6
  2. B. f−1(y)=y+63f^{-1}(y) = \dfrac{y + 6}{3}
  3. C. f−1(y)=3y+6f^{-1}(y) = 3y + 6
  4. D. f−1(y)=y−63f^{-1}(y) = \dfrac{y - 6}{3}
Rezolvare

Răspuns corect: B. f−1(y)=y+63f^{-1}(y) = \dfrac{y + 6}{3}

y=3x−6⇒x=y+63y = 3x - 6 \Rightarrow x = \dfrac{y + 6}{3}, deci f−1(y)=y+63f^{-1}(y) = \dfrac{y + 6}{3}.

Funcții — proprietăți generale #5

Funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3 este bijectivă. Determinați abscisa punctului de intersecție al graficelor lui ff și f−1f^{-1}.
  1. A. −3-3
  2. B. 00
  3. C. 33
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33

Graficul lui f−1f^{-1} este reflexia graficului lui ff față de y=xy = x. Intersecția lor se află pe y=xy = x, deci rezolvăm f(x)=xf(x) = x: 2x−3=x⇒x=32x - 3 = x \Rightarrow x = 3.

Funcții — proprietăți generale #6

Pentru ce valoare a∈Ra \in \mathbb{R} funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(a−2) x+5f(x) = (a - 2)\,x + 5, nu este inversabilă?
  1. A. a=0a = 0
  2. B. a=1a = 1
  3. C. a=2a = 2
  4. D. a=5a = 5
Rezolvare

Răspuns corect: C. a=2a = 2

ff este inversabilă dacă și numai dacă panta a−2≠0a - 2 \ne 0. Deci ff nu este inversabilă exact când a=2a = 2 (devine constanta 55, nici injectivă, nici surjectivă).

Funcții — proprietăți generale #7

Pentru f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3f(x) = x^3, care afirmație este corectă?
  1. A. f nu este nici injectiva˘, nici surjectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{nici}\text{ }\allowbreak{}\text{injectivă,}\text{ }\allowbreak{}\text{nici}\text{ }\allowbreak{}\text{surjectivă}
  2. B. f este injectiva˘ dar nu surjectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{injectivă}\text{ }\allowbreak{}\text{dar}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{surjectivă}
  3. C. f este surjectiva˘ dar nu injectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{surjectivă}\text{ }\allowbreak{}\text{dar}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{injectivă}
  4. D. f este bijectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{bijectivă}
Rezolvare

Răspuns corect: D. f este bijectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{bijectivă}

ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R}, deci injectivă. Pentru orice y∈Ry \in \mathbb{R}, x=y3x = \sqrt[3]{y} satisface f(x)=yf(x) = y, deci surjectivă. Astfel ff este bijectivă, cu f−1(y)=y3f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}.

Funcții — proprietăți generale #8

Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x+1,x<02x+1,x≥0f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ 2x + 1, & x \ge 0 \end{cases}. Care afirmație este corectă?
  1. A. f nu este injectiva˘ deoarece f(−1)=f(0)f\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{injectivă}\text{ }\allowbreak{}\text{deoarece}\text{ }\allowbreak{}f(-1) = f(0)
  2. B. f este injectiva˘ dar nu surjectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{injectivă}\text{ }\allowbreak{}\text{dar}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{surjectivă}
  3. C. f este surjectiva˘ dar nu injectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{surjectivă}\text{ }\allowbreak{}\text{dar}\text{ }\allowbreak{}\text{nu}\text{ }\allowbreak{}\text{injectivă}
  4. D. f este bijectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{bijectivă}
Rezolvare

Răspuns corect: D. f este bijectiva˘f\text{ }\allowbreak{}\text{este}\text{ }\allowbreak{}\text{bijectivă}

Ramura stângă (x<0x < 0): f(x)=x+1∈(−∞, 1)f(x) = x + 1 \in (-\infty,\, 1), strict crescătoare. Ramura dreaptă (x≥0x \ge 0): f(x)=2x+1∈[1, +∞)f(x) = 2x + 1 \in [1,\, +\infty), strict crescătoare. Cele două imagini (−∞,1)(-\infty, 1) și [1,+∞)[1, +\infty) sunt disjuncte și reunite acoperă R\mathbb{R}, deci ff este surjectivă. Fiecare ramură este strict crescătoare și imaginile nu se suprapun, deci ff este injectivă. Astfel ff este bijectivă. (Notă: f(−1)=0f(-1) = 0 și f(0)=1f(0) = 1, deci distractor A este factual fals.)

Funcții — proprietăți generale #9

Fie f(x)=xf(x)=\sqrt x și g(x)=6−x2g(x)=6-x^2. Domeniul maxim de definiție al funcției compuse f∘gf\circ g este:
  1. A. [−6,6][-6,6]
  2. B. [−6,6][-\sqrt6,\sqrt6]
  3. C. (−∞,6](-\infty,\sqrt6]
  4. D. [0,6][0,\sqrt6]
Rezolvare

Răspuns corect: B. [−6,6][-\sqrt6,\sqrt6]

Trebuie g(x)=6−x2≥0g(x)=6-x^2\ge0, adică x2≤6  ⟺  x∈[−6,6].x^2\le6 \iff x\in[-\sqrt6,\sqrt6]. Verificare: la x=0x=0: g(0)=6≥0g(0)=6\ge0, valid ✓; la x=3x=3: g(3)=6−9=−3<0g(3)=6-9=-3<0, invalid, iar 3>6≈2,4493>\sqrt6\approx2{,}449. ✓

Funcții — proprietăți generale #10

Se dă funcția f(x)=x+1x−1f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}, definită pentru x≠1x\ne1. Valoarea lui (f∘f)(2026)(f\circ f)(2026) este:
  1. A. 20262026
  2. B. 11
  3. C. −2026-2026
  4. D. 12026\dfrac{1}{2026}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 20262026

Recunoașterea cheie: calculăm f(f(x))f(f(x)) pentru xx general. Fie y=f(x)=x+1x−1y=f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}. Atunci f(y)=y+1y−1=x+1x−1+1x+1x−1−1=(x+1)+(x−1)x−1(x+1)−(x−1)x−1=2x2=x.f(y)=\frac{y+1}{y-1} = \frac{\dfrac{x+1}{x-1}+1}{\dfrac{x+1}{x-1}-1} = \frac{\dfrac{(x+1)+(x-1)}{x-1}}{\dfrac{(x+1)-(x-1)}{x-1}} = \frac{2x}{2}=x. Deci f(f(x))=xf(f(x))=x pentru orice x≠1x\ne1 (cu f(x)≠1f(x)\ne1, condiție satisfăcută aici) — funcția ff este o involuție: aplicată de două ori, întoarce valoarea inițială. Așadar (f∘f)(2026)=2026(f\circ f)(2026)=2026, fără a fi nevoie de calcul explicit. Verificare directă: f(2026)=20272025f(2026)=\dfrac{2027}{2025}; f(20272025)=20272025+120272025−1=4052202522025=40522=2026f\left(\dfrac{2027}{2025}\right)=\dfrac{\frac{2027}{2025}+1}{\frac{2027}{2025}-1}=\dfrac{\frac{4052}{2025}}{\frac{2}{2025}}=\dfrac{4052}{2}=2026. ✓

Funcții — proprietăți generale #11

Numărul valorilor întregi din domeniul maxim de definiție al funcției f(x)=x2−1+19−x2f(x) = \sqrt{x^2-1} + \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} este:
  1. A. 55
  2. B. 66
  3. C. 44
  4. D. 33
Rezolvare

Răspuns corect: C. 44

Condiția 1: x2−1≥0  ⟺  x≤−1x^2-1\ge0 \iff x\le-1 sau x≥1x\ge1. Condiția 2: 9−x2>09-x^2>0 (strict, fiind la numitor)   ⟺  −3<x<3\iff -3<x<3. Intersecția: x∈(−3,−1]∪[1,3)x\in(-3,-1]\cup[1,3) — observă capetele: −3-3 și 33 sunt excluse (strict din condiția 2), dar −1-1 și 11 sunt incluse (nestrict din condiția 1). Întregii din (−3,−1](-3,-1]: −2,−1-2,-1. Întregii din [1,3)[1,3): 1,21,2. În total: −2,−1,1,2-2,-1,1,2 — patru valori. Observă că x=0x=0 nu e în domeniu (prima condiție eșuează: 0−1=−1<00-1=-1<0), deși e „la mijloc" și ar putea părea intuitiv inclus. Verificare: f(−2)=3+15f(-2)=\sqrt3+\dfrac{1}{\sqrt5} — definit; f(0)f(0): −1\sqrt{-1} nu există — corect exclus; f(3)f(3): 9−9=09-9=0 la numitor — corect exclus. ✓

Funcții — proprietăți generale #12

Domeniul maxim de definiție al funcției f(x)=ln⁡(x2−1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x^2-1}{x-1}\right) este:
  1. A. (−1,+∞)(-1,+\infty)
  2. B. (−1,1)(-1,1)
  3. C. R∖{1}\mathbb{R}\setminus\{1\}
  4. D. (−1,1)∪(1,+∞)(-1,1)\cup(1,+\infty)
Rezolvare

Răspuns corect: D. (−1,1)∪(1,+∞)(-1,1)\cup(1,+\infty)

Capcana: mulți ar simplifica direct x2−1x−1=(x−1)(x+1)x−1=x+1\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 și ar rezolva doar x+1>0x+1>0, obținând greșit (−1,+∞)(-1,+\infty) — uitând că simplificarea este validă **numai pentru x≠1x\neq1**, iar acea restricție face parte din domeniul funcției ORIGINALE, indiferent cât de „inofensivă" ar părea valoarea simplificată în x=1x=1. Rezolvare corectă, în doi pași care se aplică simultan: 1. Expresia x2−1x−1\dfrac{x^2-1}{x-1} este definită doar pentru x≠1x\neq1 (numitorul nu poate fi 00) — aceasta este o restricție a domeniului, independentă de orice simplificare ulterioară. 2. Pentru x≠1x\neq1, expresia este egală cu x+1x+1, iar logaritmul cere argumentul strict pozitiv: x+1>0  ⟺  x>−1x+1>0 \iff x>-1. Combinând: x>−1x>-1 și x≠1x\neq1, adică x∈(−1,1)∪(1,+∞)x\in(-1,1)\cup(1,+\infty). Verificare directă (fără simplificare) la x=1x=1: 12−11−1=00\dfrac{1^2-1}{1-1}=\dfrac{0}{0} — nedefinit, deci x=1x=1 trebuie exclus, confirmând că opțiunea (−1,+∞)(-1,+\infty) (care l-ar include) este greșită. La x=2x=2: 4−12−1=3>0\dfrac{4-1}{2-1}=3>0, ln⁡3\ln3 definit — inclus corect. La x=0x=0: −1−1=1>0\dfrac{-1}{-1}=1>0, ln⁡1=0\ln1=0 definit — inclus corect. ✓
În aplicațieÎncă 28 exerciții cu funcții — proprietăți generaleIntră în cont și continui direct de la funcții — proprietăți generale — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 9-a