Exerciții rezolvate cu rezolvarea triunghiurilor — clasa a 9-a

Aria $= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.

Aria $= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin\dfrac{\pi}{6} = 24 \cdot \dfrac{1}{2} = 12$.

$\dfrac{4}{\sin(\pi/6)} = \dfrac{b}{\sin(\pi/4)} \Rightarrow \dfrac{4}{1/2} = \dfrac{b}{\sqrt{2}/2} \Rightarrow 8 = \dfrac{b}{\sqrt{2}/2} \Rightarrow b = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$.

Deoarece $5^2 + 12^2 = 13^2$, $\triangle ABC$ este dreptunghic în $B$. Aria $= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$.

$s = \dfrac{5 + 6 + 7}{2} = 9$. $A = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \approx 14.70$.

$2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{6}{1/2} = 12 \Rightarrow R = 6$.

$\cos A = \dfrac{25 + 9 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2}$. Deoarece $A \in (0, \pi)$, $A = \dfrac{2\pi}{3}$.

$A = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$.

Din teorema sinusurilor, laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse: $$a:b:c = \sin A:\sin B:\sin C = 3:4:5.$$ Notăm laturile $3k,4k,5k$. Perimetrul: $3k+4k+5k=12k=36 \implies k=3$. Laturile sunt $9,12,15$. Cea mai mare este $c=5k=15$. Verificare: $9+12+15=36$ ✓, iar $9:12:15=3:4:5$ ✓ (raportul se păstrează).

Verificăm cazul ambiguu: $h=b\sin A=9\cdot\dfrac12=4{,}5$, iar $h=4{,}5<a=6<b=9$ — confirmă cele două triunghiuri. $$\sin B = \frac{b\sin A}{a}=\frac{9\cdot\frac12}{6}=\frac34.$$ Deci $\cos B_1=\dfrac{\sqrt7}{4}$ (unghi ascuțit) și $\cos B_2=-\dfrac{\sqrt7}{4}$ (unghi obtuz, $B_2=180^\circ-B_1$). Cazul 1: $C_1=150^\circ-B_1$. Folosind $\sin(150^\circ-B_1)=\sin150^\circ\cos B_1-\cos150^\circ\sin B_1=\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt7}{4}+\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac34=\dfrac{\sqrt7+3\sqrt3\cdot2}{8}$... calculăm direct: $$\sin C_1 = \frac12\cdot\frac{\sqrt7}{4}-\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\cdot\frac34 = \frac{\sqrt7}{8}+\frac{3\sqrt3}{8}=\frac{\sqrt7+3\sqrt3}{8}.$$ $$c_1 = \frac{a\sin C_1}{\sin A} = \frac{6\cdot\frac{\sqrt7+3\sqrt3}{8}}{\frac12} = \frac{12(\sqrt7+3\sqrt3)}{8}=\frac{3(\sqrt7+3\sqrt3)}{2}.$$ Cazul 2: $C_2=150^\circ-B_2=B_1-30^\circ$. $$\sin C_2 = \sin B_1\cos30^\circ-\cos B_1\sin30^\circ = \frac34\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt7}{4}\cdot\frac12=\frac{3\sqrt3-\sqrt7}{8}.$$ $$c_2 = \frac{6\cdot\frac{3\sqrt3-\sqrt7}{8}}{\frac12} = \frac{3(3\sqrt3-\sqrt7)}{2}.$$ Suma: $$c_1+c_2 = \frac{3(\sqrt7+3\sqrt3)}{2}+\frac{3(3\sqrt3-\sqrt7)}{2} = \frac{3\cdot6\sqrt3}{2} = 9\sqrt3.$$ Termenii cu $\sqrt7$ se anulează complet — o simplificare neevidentă la prima vedere. Verificare numerică: $B_1\approx48{,}59^\circ$, $C_1\approx101{,}41^\circ$, $c_1\approx11{,}763$; $B_2\approx131{,}41^\circ$, $C_2\approx18{,}59^\circ$, $c_2\approx3{,}826$; suma $\approx15{,}589$, iar $9\sqrt3\approx15{,}588$. ✓

Cu $a=n-1$ (opus lui $A$), $b=n$, $c=n+1$ (opus lui $C$): $$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{n^2+4n}{2n(n+1)}=\frac{n+4}{2(n+1)},\qquad \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{n^2-4n}{2n(n-1)}=\frac{n-4}{2(n-1)}.$$ Condiția $\widehat C=2\widehat A$ înseamnă $\cos C=2\cos^2A-1$. Rezolvând această ecuație în $n$ (cu restricția $n>2$, cerută de inegalitatea triunghiului $(n-1)+n>n+1$), singura soluție validă este $n=5$ (cealaltă rădăcină, $n=\tfrac12$, nu dă un triunghi valid). Verificare directă (laturile $4,5,6$): $\cos A=\dfrac{25+36-16}{60}=\dfrac{45}{60}=\dfrac34$ (unghiul opus lui $4$, cel mai mic), $\cos C=\dfrac{16+25-36}{40}=\dfrac{5}{40}=\dfrac18$ (opus lui $6$, cel mai mare). Verificăm: $2\cos^2A-1=2\cdot\dfrac9{16}-1=\dfrac{18}{16}-1=\dfrac18=\cos C$. ✓ Deci $\widehat C=2\widehat A$, confirmând $n=5$.

Din teorema sinusurilor, $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$, deci $$a^2+b^2+c^2 = 4R^2\left(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\right) = 8R^2 \implies \sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2.$$ Identitatea cheie (valabilă pentru orice triunghi, deoarece $A+B+C=\pi$): $$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C = 2+2\cos A\cos B\cos C.$$ Combinând cu condiția $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2$, obținem $$2+2\cos A\cos B\cos C = 2 \implies \cos A\cos B\cos C = 0.$$ Cum $A,B,C\in(0,\pi)$, produsul $\cos A\cos B\cos C$ este $0$ **exact atunci când unul dintre unghiuri este $\dfrac\pi2$** (singurul unghi din $(0,\pi)$ cu cosinusul nul). Deci triunghiul are un unghi drept — este dreptunghic. Verificare: pentru un triunghi dreptunghic-isoscel ($90^\circ,45^\circ,45^\circ$): $\sin^290^\circ+\sin^245^\circ+\sin^245^\circ=1+\tfrac12+\tfrac12=2$ ✓. Pentru un triunghi echilateral ($60^\circ,60^\circ,60^\circ$, care NU verifică ipoteza): $\sin^260^\circ\cdot3=\tfrac34\cdot3=2{,}25\neq2$ — confirmă că echilateral nu satisface condiția, deci nu poate fi răspunsul. ✓