Daily Math · 2026-06-12 - trei probleme despre general, general, general

Suma soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt{x+7}=x+1$ este:

Condiții de existență: $x+7\ge 0$ și $x+1\ge 0$, deci $x\ge -1$. Ridicăm la pătrat ambii membri: $$x+7=(x+1)^2=x^2+2x+1$$ Obținem ecuația de gradul al II-lea: $$x^2+x-6=0 \Rightarrow (x-2)(x+3)=0$$ Rădăcinile sunt $x=2$ și $x=-3$. Verificăm în ecuația inițială: pentru $x=2$ avem $\sqrt{9}=3=2+1$ ✓. Pentru $x=-3$ avem $\sqrt{4}=2\ne -3+1=-2$, deci $x=-3$ este soluție străină (nu respectă nici condiția $x\ge -1$). Singura soluție reală este $x=2$, deci suma soluțiilor este $$2$$

Forma algebrică a numărului complex $z=\dfrac{3+i}{1-i}$ este:

Amplificăm fracția cu $1+i$, conjugatul numitorului: $$z=\frac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}.$$ Numitorul devine real: $$(1-i)(1+i)=1-i^2=1+1=2.$$ Dezvoltăm numărătorul, folosind $i^2=-1$: $$(3+i)(1+i)=3+3i+i+i^2=2+4i.$$ Așadar: $$z=\frac{2+4i}{2}=1+2i.$$

Se consideră numărul complex $z=\dfrac{a+3i}{2-i}$, unde $a$ este un număr real și $i^2=-1$. Valoarea lui $a$ pentru care $z$ este număr real este:

Amplificăm fracția cu conjugatul numitorului, $2+i$: $$z=\frac{(a+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{2a+ai+6i+3i^2}{4-i^2}.$$ Cum $i^2=-1$, numitorul devine $5$, iar numărătorul se grupează pe părți: $$z=\frac{(2a-3)+(a+6)i}{5}.$$ $z$ este număr real exact atunci când partea imaginară se anulează: $$\frac{a+6}{5}=0.$$ De aici: $$a=-6.$$