pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Înapoi la articole

Probleme · 2026-06-14

Daily Math · 2026-06-14 - trei probleme despre integrals, probability, matrices

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problema 1 · integrals

Calculați ∫xex dx\displaystyle\int xe^x\,dx.
  1. xex+Cxe^x + C
  2. (x−1)ex+C(x-1)e^x + C
  3. (x+1)ex+C(x+1)e^x + C
  4. x2ex2+C\dfrac{x^2 e^x}{2} + C
  5. ex(x2−x)+Ce^x(x^2-x) + C
  6. xex−x+Cxe^x - x + C

Soluție

∙\bullet Integrare prin părți cu u=xu=x, dv=ex dxdv=e^x\,dx, deci du=dxdu=dx, v=exv=e^x: ∫xex dx=xex−∫ex dx\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx ∙\bullet Evaluăm integrala rămasă: xex−ex+Cxe^x - e^x + C ∙\bullet Factorizăm: (x−1)ex+C(x-1)e^x + C

Problema 2 · probability

Un săculeț conține aa bile roșii, bb albastre, cc verzi, cu a=log⁡39a=\log_3 9, b=i100+3b=i^{100}+3, c=2!⋅cos⁡0c=2!\cdot\cos 0. Se extrag două bile fără revenire. Calculați P(ambele de aceeași culoare)P(\text{ambele de aceeași culoare}).
  1. 17\dfrac{1}{7}
  2. 314\dfrac{3}{14}
  3. 27\dfrac{2}{7}
  4. 14\dfrac{1}{4}
  5. 514\dfrac{5}{14}
  6. 12\dfrac{1}{2}

Soluție

∙\bullet Decodificăm numărul bilelor: log⁡39=2, i100+3=1+3=4, 2!cos⁡0=2\log_3 9=2,\ i^{100}+3=1+3=4,\ 2!\cos 0=2 ∙\bullet Deci (a,b,c)=(2,4,2)(a,b,c)=(2,4,2), total 88 bile. Numărăm perechile favorabile: C22+C42+C22=1+6+1=8C_{2}^{2}+C_{4}^{2}+C_{2}^{2}=1+6+1=8 ∙\bullet Numărul total de perechi: C82=28C_{8}^{2}=28 ∙\bullet Probabilitatea: P=828=27P=\dfrac{8}{28}=\dfrac{2}{7}

Problema 3 · matrices

Fie A=(i2024ln⁡ ⁣(lim⁡x→∞ ⁣(1+1x)2x)lim⁡x→π ⁣tg⁡xlog⁡1/3 ⁣(181))A=\begin{pmatrix}i^{2024} & \ln\!\left(\lim_{x\to\infty}\!\left(1+\tfrac{1}{x}\right)^{2x}\right)\\ \lim_{x\to\pi}\!\tg x & \log_{1/3}\!\left(\tfrac{1}{81}\right)\end{pmatrix}. Calculați det⁡(A2)\det(A^2).
  1. 1616
  2. 44
  3. 88
  4. 3232
  5. 6464
  6. −16-16

Soluție

∙\bullet Calculăm fiecare element: i2024=(i4)506=1i^{2024} = (i^4)^{506} = 1 lim⁡x→∞(1+1x)2x=e2  ⇒  ln⁡(e2)=2\lim_{x\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{x}\right)^{2x} = e^2 \;\Rightarrow\; \ln(e^2) = 2 lim⁡x→πtg⁡x=0\lim_{x\to\pi}\tg x = 0 log⁡1/3181=log⁡1/3(1/3)4=4\log_{1/3}\tfrac{1}{81} = \log_{1/3}(1/3)^4 = 4 ∙\bullet Asamblăm matricea: A=(1204)A = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 4\end{pmatrix} ∙\bullet Aplicăm det⁡(A2)=(det⁡A)2\det(A^2) = (\det A)^2: det⁡A=4  ⇒  det⁡(A2)=16\det A = 4 \;\Rightarrow\; \det(A^2) = 16
1 / 3
Mediumintegrals
Calculați .