pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Înapoi la articole

Probleme · 2026-06-15

Daily Math · 2026-06-15 - trei probleme despre integrals, geometrie, general

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problema 1 · integrals

Calculați ∫xex dx\displaystyle\int xe^x\,dx.
  1. xex+Cxe^x + C
  2. (x−1)ex+C(x-1)e^x + C
  3. (x+1)ex+C(x+1)e^x + C
  4. x2ex2+C\dfrac{x^2 e^x}{2} + C
  5. ex(x2−x)+Ce^x(x^2-x) + C
  6. xex−x+Cxe^x - x + C

Soluție

∙\bullet Integrare prin părți cu u=xu=x, dv=ex dxdv=e^x\,dx, deci du=dxdu=dx, v=exv=e^x: ∫xex dx=xex−∫ex dx\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx ∙\bullet Evaluăm integrala rămasă: xex−ex+Cxe^x - e^x + C ∙\bullet Factorizăm: (x−1)ex+C(x-1)e^x + C

Problema 2 · geometrie

Dreptele y=2x+3y = 2x + 3 și y=2x−1y = 2x - 1 sunt:
  1. paralele și distincte
  2. identice
  3. perpendiculare
  4. secante într-un singur punct

Soluție

Ambele drepte au panta 22, dar ordonatele la origine diferite (33 și −1-1). Aceeași pantă, ordonată la origine diferită ⇒ paralele și distincte (nu se intersectează).

Problema 3 · general

Fie funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3xf(x)=x^2+3x. Valoarea limitei lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} este:
  1. 55
  2. 22
  3. 44
  4. 33

Soluție

Calculăm f(1)=12+3⋅1=4f(1)=1^2+3\cdot 1=4, deci limita devine lim⁡x→1x2+3x−4x−1.\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2+3x-4}{x-1}. Numărătorul se factorizează: x2+3x−4=(x−1)(x+4)x^2+3x-4=(x-1)(x+4). Pentru x≠1x \neq 1 simplificăm fracția: (x−1)(x+4)x−1=x+4.\dfrac{(x-1)(x+4)}{x-1}=x+4. Trecând la limită: lim⁡x→1(x+4)=5.\lim_{x \to 1}(x+4)=5. Verificare: limita este exact f′(1)f'(1), iar f′(x)=2x+3f'(x)=2x+3 dă f′(1)=2⋅1+3=5.f'(1)=2\cdot 1+3=5.
1 / 3
Mediumintegrals
Calculați .