Daily Math · 2026-06-17 - trei probleme despre trigonometry, general, algebra

Calculați $\sin^4 7°+2\sin^2 7°\cos^2 7°+\cos^4 7°+\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x}{x}-\log_{\sqrt{7}}49$.

$\bullet$ Recunoaștem un pătrat al unui binom: $$\sin^4 7°+2\sin^2 7°\cos^2 7°+\cos^4 7°=(\sin^2 7°+\cos^2 7°)^2$$ $\bullet$ Pitagora elimină unghiul: $$(\sin^2 7°+\cos^2 7°)^2=1$$ $\bullet$ Evaluăm limita: $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x}{x}=5$$ $\bullet$ Decodificăm logaritmul: $$\log_{\sqrt 7}49=\dfrac{2}{1/2}=4$$ $\bullet$ Combinăm: $$1+5-4=2$$

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $x-3=\sqrt{x-1}$ este:

Condiții de existență: $x-1\ge 0$ și, cum $\sqrt{x-1}\ge 0$, este necesar ca $x-3\ge 0$. Deci $x\ge 3$. Ridicăm la pătrat ambii membri: $$(x-3)^2=x-1$$ $$x^2-7x+10=0$$ Descompunem: $(x-2)(x-5)=0$, deci $x=2$ sau $x=5$. $x=2$ nu respectă condiția $x\ge 3$ (într-adevăr, $2-3=-1\neq\sqrt{1}=1$) — este soluție străină. Pentru $x=5$: $5-3=2$ și $\sqrt{5-1}=2$ ✓. Mulțimea soluțiilor este $$\{5\}$$

Pentru $x * y = x + y - 3$ pe $\mathbb{R}$ (cu elementul neutru $e = 3$), elementul simetric al lui $5$ este:

$5 + y - 3 = 3 \Rightarrow y = 1$.