Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Subiect Model 2018

1. Folosim regula $\log_3 a + \log_3 b = \log_3(a \cdot b)$, deci $n = \log_3\big((\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)\big)$.
2. Calculăm produsul cu formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2) = 7 - 4 = 3$.
3. Obținem $n = \log_3 3 = 1$, care este număr natural.

Răspuns: $n = 1 \in \mathbb{N}$

1. Punem condiția $f(x)=g(x)$: $2x-1 = x^2+6x+3$, de unde $x^2+4x+4=0$.
2. Rezolvăm: $(x+2)^2=0$, deci $x=-2$.
3. Calculăm ordonata: $f(-2)=2\cdot(-2)-1=-5$. Punctul de intersecție este $(-2,\,-5)$.

Răspuns: $(-2,\,-5)$

1. Funcția $t \mapsto t^3$ este injectivă pe $\mathbb{R}$, deci $(x+2)^3=(2-x)^3 \Leftrightarrow x+2=2-x$.
2. Rezolvăm ecuația de gradul I: $x+x=2-2$, adică $2x=0$.
3. Obținem $x=0$, singura soluție reală.

Răspuns: $x = 0$

1. Cifra zecilor nu poate fi $0$, deci o alegem dintre $\{2,4,6,8\}$: $4$ posibilități.
2. Cifra unităților trebuie să fie diferită de cea a zecilor; rămân $4$ cifre disponibile (inclusiv $0$): $4$ posibilități.
3. Aplicăm regula produsului: $4 \cdot 4 = 16$ numere.

Răspuns: $16$ numere

1. Din $2\overrightarrow{MN}+3\overrightarrow{NP}=\vec{0}$ scoatem $\overrightarrow{NP}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MN}$, deci $NP=\dfrac{2}{3}\cdot MN=\dfrac{2}{3}\cdot 3=2$.
2. Folosim relația lui Chasles: $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MN}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MN}$.
3. Prin urmare $MP=\dfrac{1}{3}\cdot MN=\dfrac{1}{3}\cdot 3=1$.

Răspuns: $MP = 1$

1. Reducem la primul cadran fiecare termen: $\sin(\pi-x)=\sin x$, $\sin(\pi+x)=-\sin x$ și $\sin(2\pi-x)=-\sin x$.
2. Înlocuim în sumă: $\sin x + \sin x + (-\sin x) + (-\sin x)$.
3. Termenii se reduc doi câte doi, deci suma este $0\cdot\sin x = 0$ pentru orice $x\in\mathbb{R}$.

Răspuns: Suma este $0$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$

1. Scriem $A(2,3)=\begin{pmatrix}2&3&1\\1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}$ și aplicăm regula lui Sarrus.
2. Suma produselor de pe diagonala principală: $2\cdot2\cdot3 + 3\cdot3\cdot2 + 1\cdot1\cdot1 = 12+18+1 = 31$.
3. Suma produselor de pe diagonala secundară: $1\cdot2\cdot2 + 2\cdot3\cdot1 + 3\cdot1\cdot3 = 4+6+9 = 19$.
4. Deci $\det(A(2,3)) = 31 - 19 = 12$.

Răspuns: $\det(A(2,3)) = 12$

1. Calculăm determinantul și îl factorizăm: $\det(A(n^2,n)) = n^5-n^3-n^2+1 = (n^2+n+1)(n-1)^2(n+1)$.
2. Analizăm semnul fiecărui factor pentru $n\in\mathbb{N}$: $n^2+n+1>0$, $(n-1)^2\geq 0$ și $n+1>0$.
3. Produsul a trei factori nenegativi este nenegativ, deci $\det(A(n^2,n))\geq 0$.

Răspuns: $\det(A(n^2,n)) \geq 0$, pentru orice $n \in \mathbb{N}$

1. Condiția ca inversa lui $B=A(x,0)^2$ să fie $A(x,0)$ revine la $B\cdot A(x,0)=A(x,0)^3=I_3$.
2. Calculăm elementul $(1,1)$ al lui $A(x,0)^3$: acesta este $x^3+2x^2+1$, care trebuie să fie egal cu $1$.
3. Din $x^3+2x^2+1=1$ obținem $x^2(x+2)=0$, iar verificând și celelalte elemente (de exemplu $2x=0$) rămâne doar $x=0$.

Răspuns: $x = 0$

1. Înlocuim $X=1$ în polinom: $f(1) = n\cdot 1^n + 1^2 - n\cdot 1 - 1$.
2. Cum $1^n=1$, obținem $f(1) = n + 1 - n - 1$.
3. Grupăm termenii: $(n-n)+(1-1) = 0$, deci $f(1)=0$ pentru orice $n\geq 3$.

Răspuns: $f(1) = 0$

1. Pentru $n$ impar avem $(-1)^n=-1$, deci $f(-1) = -n + 1 + n - 1 = 0$.
2. Cum la punctul a) am arătat $f(1)=0$, polinomul $f$ are rădăcinile $1$ și $-1$.
3. Atunci $f$ se divide cu $(X-1)(X+1)=X^2-1$.

Răspuns: $f$ este divizibil cu $X^2-1$ (rădăcinile $1$ și $-1$)

1. Aplicăm lema rădăcinilor raționale: pentru $\alpha=\dfrac{p}{q}$ ireductibilă rădăcină, $p$ divide termenul liber $-1$ (deci $p=\pm 1$) și $q$ divide coeficientul dominant $n$. Cum $\alpha\notin\mathbb{Z}$, rezultă $\alpha=\dfrac{1}{d}$ cu $d\mid n$ și $|d|\geq 2$.
2. Înlocuim $\alpha=\dfrac{1}{d}$ în $f(\alpha)=0$ și înmulțim cu $d^n$; comparând termenii, obținem inegalitatea $|d|^{n-2}\leq n$.
3. Pentru $n\geq 5$ și $|d|\geq 2$ avem însă $|d|^{n-2}\geq 2^{n-2}>n$, contradicție. Deci $f$ nu are rădăcini în $\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}$.

Răspuns: $f$ nu are rădăcini în $\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}$, pentru $n\geq 5$

1. Derivăm termen cu termen: $(\text{arctg}\, x)'=\dfrac{1}{x^2+1}$ și $(x)'=1$, deci $f'(x)=\dfrac{1}{x^2+1}-1$.
2. Aducem la același numitor $x^2+1$: $f'(x)=\dfrac{1-(x^2+1)}{x^2+1}$.
3. Simplificăm numărătorul: $1-(x^2+1)=-x^2$, deci $f'(x)=-\dfrac{x^2}{x^2+1}$.

Răspuns: $f'(x) = -\dfrac{x^2}{x^2+1}$

1. Calculăm panta: $m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\text{arctg}\, x}{x}-1=0-1=-1$.
2. Calculăm ordonata la origine: $b=\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-mx\big)=\lim_{x\to+\infty}\big(\text{arctg}\, x - x + x\big)=\lim_{x\to+\infty}\text{arctg}\, x=\dfrac{\pi}{2}$.
3. Asimptota oblică spre $+\infty$ are ecuația $y=mx+b=-x+\dfrac{\pi}{2}$.

Răspuns: $y = -x + \dfrac{\pi}{2}$

1. Fie $h(x)=f(x)+g(x)$. Derivăm: $h'(x)=\Big(\dfrac{1}{x^2+1}-1\Big)+\Big(-\dfrac{1}{x^2+1}+1\Big)=0$ pentru orice $x\in\mathbb{R}$.
2. Cum $h'\equiv 0$ pe $\mathbb{R}$, funcția $h$ este constantă.
3. Aflăm constanta în $x=0$: $f(0)+g(0)=\text{arctg}\, 0+\text{arcctg}\, 0=0+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}$, deci $f(x)+g(x)=\dfrac{\pi}{2}$.

Răspuns: $f(x)+g(x)=\dfrac{\pi}{2}$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$

1. Cu substituția $t=\sqrt{x}$ avem $x=t^2$, $dx=2t\,dt$ și limitele rămân de la $0$ la $1$; cum $f(\sqrt{x})=e^{-x}=e^{-t^2}$, integrala devine $2\int_0^1 t\,e^{-t^2}\,dt$.
2. O primitivă a lui $2t\,e^{-t^2}$ este $-e^{-t^2}$ (derivata lui $-e^{-t^2}$ este $2t\,e^{-t^2}$).
3. Aplicăm Leibniz-Newton: $\big[-e^{-t^2}\big]_0^1 = -e^{-1}-(-1) = 1-\dfrac{1}{e}=\dfrac{e-1}{e}$.

Răspuns: $\int_0^1 f(\sqrt{x})\,dx = \dfrac{e-1}{e}$

1. Fie $F$ o primitivă a lui $f$; atunci $F'=f$ și $F''=f'$.
2. Calculăm $f'(x)=(e^{-x^2})'=-2x\,e^{-x^2}$.
3. Pe $(0,+\infty)$ avem $x>0$ și $e^{-x^2}>0$, deci $F''(x)=-2x\,e^{-x^2}<0$; prin urmare orice primitivă $F$ este concavă pe $(0,+\infty)$.

Răspuns: $F''(x)<0$ pe $(0,+\infty)$, deci $F$ este concavă

1. Scriem diferența: $I_{n+1}-I_n=\int_{\frac{1}{n+1}}^{1}e^{-x^2}\,dx-\int_{\frac{1}{n}}^{1}e^{-x^2}\,dx=\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}e^{-x^2}\,dx\geq 0$, deci șirul este crescător.
2. Cum $e^{-x^2}\leq 1$, mărginim superior: $I_n=\int_{\frac{1}{n}}^{1}e^{-x^2}\,dx\leq\int_{\frac{1}{n}}^{1}1\,dx=1-\dfrac{1}{n}\leq 1$.
3. Șirul $(I_n)_{n\geq 1}$ este monoton (crescător) și mărginit superior, deci, conform teoremei lui Weierstrass, este convergent.

Răspuns: Șirul $(I_n)_{n\geq 1}$ este convergent