Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Toamnă 2018

1. Cum $\sqrt{2}\approx 1{,}41 > 1$, avem $1-\sqrt{2}<0$, deci $|1-\sqrt{2}| = \sqrt{2}-1$.
2. Cum $\sqrt{2}<2$, avem $2-\sqrt{2}>0$, deci $|2-\sqrt{2}| = 2-\sqrt{2}$.
3. Adunăm: $n = (\sqrt{2}-1) + (2-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1+2-\sqrt{2} = 1$.
4. Cum $n = 1 \in \mathbb{N}$, numărul $n$ este natural.

Răspuns: $n = 1 \in \mathbb{N}$

1. Scriem inecuația: $11-x \geq 1-11x$.
2. Trecem termenii cu $x$ în membrul stâng și constantele în dreapta: $-x+11x \geq 1-11$, adică $10x \geq -10$.
3. Împărțim la $10$ (pozitiv, sensul se păstrează): $x \geq -1$.
4. Mulțimea soluțiilor este $S = [-1, +\infty)$.

Răspuns: $S = [-1, +\infty)$

1. Scriem $2^{x+1} = 2^x \cdot 2$, deci $3^x \cdot 2^{x+1} = 3^x \cdot 2^x \cdot 2 = (3\cdot 2)^x \cdot 2 = 6^x \cdot 2$.
2. Ecuația devine $6^x \cdot 2 = 72$, de unde $6^x = 36$.
3. Cum $36 = 6^2$, obținem $6^x = 6^2$, deci $x = 2$.

Răspuns: $x = 2$

1. Cifrele impare sunt $1, 3, 5, 7, 9$, deci avem $5$ cifre disponibile.
2. Cifra sutelor se alege în $5$ moduri, cea a zecilor în $4$ moduri (distinctă de prima): $5 \cdot 4 = 20$ moduri.
3. Cifra unităților se alege în $3$ moduri (distinctă de primele două).
4. În total: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ numere.

Răspuns: $60$ numere

1. $A(-3,3)$ și $B(1,3)$ au aceeași ordonată, deci $AB = |x_B - x_A| = |1-(-3)| = 4$.
2. $B(1,3)$ și $C(1,5)$ au aceeași abscisă, deci $BC = |y_C - y_B| = |5-3| = 2$.
3. Cum $AB$ este orizontal și $BC$ vertical, unghiul din $B$ este drept, deci triunghiul este dreptunghic în $B$.
4. Aria este $\dfrac{AB \cdot BC}{2} = \dfrac{4 \cdot 2}{2} = 4$.

Răspuns: $\mathcal{A}_{ABC} = 4$

1. Suma unghiurilor: $\hat{A} = \pi - \hat{B} - \hat{C} = \pi - \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$.
2. Aplicăm teorema sinusurilor: $\dfrac{BC}{\sin \hat{A}} = 2R$.
3. Cum $\sin \dfrac{\pi}{2} = 1$, obținem $2R = \dfrac{4}{1} = 4$, deci $R = 2$.

Răspuns: $R = 2$

1. Pentru $x=2$, elementul $(1,2)$ este $x-2 = 2-2 = 0$, iar $(3,3)$ este $e^{x-2} = e^{0} = 1$.
2. Matricea este superior triunghiulară, deci $\det(A(2))$ este produsul elementelor de pe diagonala principală: $1 \cdot 1 \cdot e^{0}$.
3. Calculăm: $1 \cdot 1 \cdot e^{0} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Răspuns: $\det(A(2)) = 1$

1. Înmulțim matricele. Pe primul bloc $2\times 2$ (superior triunghiular cu $1$ pe diagonală), elementul $(1,2)$ al produsului este $1\cdot(y-2) + (x-2)\cdot 1 = x+y-4$.
2. Acesta coincide cu elementul $(1,2)$ al matricei $A(x+y-2)$, anume $(x+y-2)-2 = x+y-4$.
3. Pe poziția $(3,3)$ produsul dă $e^{x-2} \cdot e^{y-2} = e^{(x-2)+(y-2)} = e^{x+y-4}$, egal cu $e^{(x+y-2)-2}$ din $A(x+y-2)$.
4. Celelalte elemente coincid identic, deci $A(x)A(y) = A(x+y-2)$ pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$.

Răspuns: $A(x)A(y) = A(x+y-2)$, $\forall x,y \in \mathbb{R}$

1. Aplicăm repetat regula $A(x)A(y)=A(x+y-2)$: argumentul rezultat este $\big(\sum_{k=1}^{10} k\big) - 2(10-1) = 55 - 18 = 37$, deci produsul este $A(37)$.
2. Egalitatea $A(37) = A(m^2+m+17)$ cere $m^2+m+17 = 37$, adică $m^2+m-20=0$.
3. Rezolvăm ecuația de gradul doi: $\Delta = 1 + 80 = 81$, deci $m = \dfrac{-1 \pm 9}{2}$, adică $m \in \{-5, 4\}$.

Răspuns: $m \in \{-5, 4\}$

1. Calculăm $f(1) = 1^3 - 4\cdot 1^2 + 5\cdot 1 + a = 1 - 4 + 5 + a = a + 2$.
2. Calculăm $f(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 5(-1) + a = -1 - 4 - 5 + a = a - 10$.
3. Scădem: $f(1) - f(-1) = (a+2) - (a-10) = 12$.

Răspuns: $f(1) - f(-1) = 12$

1. Polinomul $f$ este divizibil cu $X-2$ dacă și numai dacă $2$ este rădăcină, adică $f(2) = 0$.
2. Calculăm $f(2) = 2^3 - 4\cdot 2^2 + 5\cdot 2 + a = 8 - 16 + 10 + a = 2 + a$.
3. Punem condiția $2 + a = 0$, de unde $a = -2$.

Răspuns: $a = -2$

1. Din relațiile lui Viète: $x_1+x_2+x_3 = 4$ și $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = 5$.
2. Calculăm $x_1^2+x_2^2+x_3^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 - 2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) = 16 - 10 = 6$.
3. Singurele numere întregi cu suma $4$ și suma pătratelor $6$ sunt $1, 1, 2$ (verificare: $1+1+2=4$, $1+1+4=6$).
4. Produsul rădăcinilor este $x_1x_2x_3 = 1\cdot 1\cdot 2 = 2$, iar din Viète $x_1x_2x_3 = -a$, deci $a = -2$.

Răspuns: $a = -2$

1. Scriem $f(x) = x^{-1/2} \ln x$ și aplicăm regula produsului: $f'(x) = (x^{-1/2})' \ln x + x^{-1/2} (\ln x)'$.
2. Derivata puterii: $(x^{-1/2})' = -\dfrac{1}{2} x^{-3/2} = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}$, iar $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.
3. Înlocuim: $f'(x) = -\dfrac{\ln x}{2x\sqrt{x}} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{1}{x} = -\dfrac{\ln x}{2x\sqrt{x}} + \dfrac{1}{x\sqrt{x}}$.
4. Aducem la numitor comun $2x\sqrt{x}$: $f'(x) = \dfrac{-\ln x + 2}{2x\sqrt{x}} = \dfrac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}$.

Răspuns: $f'(x) = \dfrac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}$

1. Axa $Oy$ este verticală, deci o tangentă perpendiculară pe $Oy$ este orizontală, adică $f'(a) = 0$.
2. Cum $f'(a) = \dfrac{2 - \ln a}{2a\sqrt{a}}$ și numitorul $2a\sqrt{a} \neq 0$ pe $(0, +\infty)$, condiția devine $2 - \ln a = 0$.
3. Rezolvăm: $\ln a = 2$, deci $a = e^2$.

Răspuns: $a = e^2$

1. Pe $(0, e^2)$ avem $2 - \ln x > 0$, deci $f'(x) > 0$ și $f$ este strict crescătoare pe acest interval.
2. Cum $2 < 3 < e^2$ (deoarece $e^2 \approx 7{,}39$), din monotonie rezultă $f(2) < f(3)$, adică $\dfrac{\ln 2}{\sqrt{2}} < \dfrac{\ln 3}{\sqrt{3}}$.
3. Înmulțim cu $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} > 0$: $\sqrt{3}\,\ln 2 < \sqrt{2}\,\ln 3$, adică $\ln 2^{\sqrt{3}} < \ln 3^{\sqrt{2}}$.
4. Funcția logaritm fiind strict crescătoare, obținem $2^{\sqrt{3}} < 3^{\sqrt{2}}$.

Răspuns: $2^{\sqrt{3}} < 3^{\sqrt{2}}$

1. O primitivă a lui $f(x) = 4x - x^2$ este $F(x) = 2x^2 - \dfrac{x^3}{3}$ (integrăm termen cu termen).
2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = F(3) - F(0)$.
3. Calculăm $F(3) = 2\cdot 9 - \dfrac{27}{3} = 18 - 9 = 9$ și $F(0) = 0$.
4. Deci $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = 9 - 0 = 9$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = 9$

1. Factorizăm numitorul: $4x - x^2 = x(4-x)$, deci integrandul este $\dfrac{2-x}{x(4-x)}$.
2. Observăm că $(4x - x^2)' = 4 - 2x = 2(2-x)$, deci $\dfrac{2-x}{4x-x^2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(4x-x^2)'}{4x-x^2}$.
3. O primitivă este $\dfrac{1}{2}\ln(4x - x^2)$, deci $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{2-x}{f(x)}\,dx = \left[\dfrac{1}{2}\ln(4x-x^2)\right]_1^2$.
4. Calculăm: $\dfrac{1}{2}\ln 4 - \dfrac{1}{2}\ln 3 = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{4}{3}$.

Răspuns: $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{2-x}{f(x)}\,dx = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{4}{3}$

1. Scriem diferența: $I_{n+1} - 4I_n = \displaystyle\int_0^4 \big(f^{n+1}(x) - 4f^n(x)\big)\,dx = \displaystyle\int_0^4 f^n(x)\big(f(x) - 4\big)\,dx$.
2. Calculăm $f(x) - 4 = 4x - x^2 - 4 = -(x^2 - 4x + 4) = -(x-2)^2$, deci $I_{n+1} - 4I_n = -\displaystyle\int_0^4 f^n(x)(x-2)^2\,dx$.
3. Pe $[0,4]$ avem $f(x) = x(4-x) \geq 0$, deci $f^n(x) \geq 0$; cum și $(x-2)^2 \geq 0$, integrandul este pozitiv sau nul, deci integrala este $\geq 0$.
4. Prin urmare $I_{n+1} - 4I_n \leq 0$, adică $I_{n+1} \leq 4I_n$ pentru orice $n$ natural nenul.

Răspuns: $I_{n+1} \leq 4I_n$, $\forall n \in \mathbb{N}^*$