Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Vară 2018

1. Scriem $z = a + bi$, deci $\bar{z} = a - bi$, iar $2\bar{z} - z = 2(a - bi) - (a + bi) = a - 3bi$.
2. Egalitatea $a - 3bi = 1 - 3i$ ne dă, prin identificarea părților reală și imaginară, $a = 1$ și $-3b = -3$, adică $b = 1$.
3. Înlocuind în $z = a + bi$, obținem $z = 1 + i$.

Răspuns: $z = 1 + i$

1. Ordonata vârfului parabolei este $y_V = -\dfrac{\Delta}{4a}$. Vârful se află pe axa $Ox$ exact când $y_V = 0$, adică $\Delta = 0$.
2. Pentru $f(x) = x^2 - mx + 1$ avem $\Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = m^2 - 4$.
3. Rezolvăm $m^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow m^2 = 4$, deci $m = -2$ sau $m = 2$.

Răspuns: $m = -2$ sau $m = 2$

1. Punem condițiile de existență: $x > 0$ și $x + 2 > 0$, deci $x > 0$.
2. Din $\dfrac{\lg x}{\lg(x+2)} = \dfrac{1}{2}$ obținem $2\lg x = \lg(x+2)$, adică $\lg x^2 = \lg(x+2)$, deci $x^2 = x + 2$.
3. Ecuația $x^2 - x - 2 = 0$ are soluțiile $x = -1$ și $x = 2$.
4. Cum $x > 0$, reținem doar $x = 2$.

Răspuns: $x = 2$

1. Numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr (de la $10$ la $99$), deci avem $90$ cazuri posibile.
2. Cifrele impare sunt $1, 3, 5, 7, 9$. Pentru un număr de două cifre cu cifre distincte și impare avem $5$ alegeri pentru prima cifră și $4$ pentru a doua, deci $5 \cdot 4 = 20$ cazuri favorabile.
3. Probabilitatea este $\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}} = \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9}$.

Răspuns: $P = \dfrac{2}{9}$

1. Dreapta $d: y = x + 1$ are panta $m_d = 1$.
2. O dreaptă perpendiculară pe $d$ are panta $m$ cu $m \cdot m_d = -1$, deci $m = -1$.
3. Ecuația dreptei prin $A(-5, 2)$ cu panta $-1$ este $y - 2 = -1\,(x - (-5))$, adică $y - 2 = -x - 5$.
4. Obținem $y = -x - 3$.

Răspuns: $y = -x - 3$

1. Folosim $\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$ și $\sin\dfrac{\pi}{4} = \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$: $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4} + x\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x$.
2. Folosim $\cos(A-B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B$: $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x$.
3. Cei doi termeni sunt egali, deci diferența lor este $0$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$.

Răspuns: $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4} + x\right) - \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) = 0$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$

1. Pentru $m = 0$ avem $2m = 0$, deci $M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
2. Aplicăm regula lui Sarrus: produsele de pe diagonale dau $0 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0$.
3. Adunând, $\det(M(0)) = 2$.

Răspuns: $\det(M(0)) = 2$

1. Adunăm toate cele trei coloane în prima coloană: pe prima coloană apare factorul comun $(2m + 2)$, ceea ce conduce la factorul $2(m+1)$.
2. După scăderea liniilor și gruparea termenilor, determinantul se factorizează ca $\det(M(m)) = 2(m+1)(2m-1)^2$.
3. Egalăm cu $0$: $2(m+1)(2m-1)^2 = 0 \Leftrightarrow m + 1 = 0$ sau $2m - 1 = 0$, deci $m = -1$ sau $m = \dfrac{1}{2}$.

Răspuns: $m \in \left\{-1,\, \dfrac{1}{2}\right\}$

1. Pentru $m = -1$ sistemul este $\begin{cases} -2a + b + c = -1 \\ a - 2b + c = 0 \\ a + b - 2c = 1 \end{cases}$.
2. Scădem ecuația a doua din prima: $-3a + 3b = -1$, deci $a - b = \dfrac{1}{3}$.
3. Scădem ecuația a treia din prima: $-3a + 3c = -2$, deci $a - c = \dfrac{2}{3}$.
4. Cum $b = a - \dfrac{1}{3}$ și $c = a - \dfrac{2}{3}$, diferențele $a - b$ și $a - c$ nu sunt întregi; dacă unul dintre $a, b, c$ ar fi întreg, celelalte două ar fi neîntregi. Așadar cel mult unul dintre $a$, $b$, $c$ este întreg.

Răspuns: Cel mult unul dintre $a$, $b$, $c$ este întreg.

1. Dezvoltăm $4\left(x + \dfrac{3}{4}\right)\left(y + \dfrac{3}{4}\right) = 4\left(xy + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{4}y + \dfrac{9}{16}\right) = 4xy + 3x + 3y + \dfrac{9}{4}$.
2. Scădem $\dfrac{3}{4}$: $4xy + 3x + 3y + \dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{4} = 4xy + 3x + 3y + \dfrac{6}{4} = 4xy + 3x + 3y + \dfrac{3}{2}$.
3. Aceasta este exact $x \ast y$, deci $x \ast y = 4\left(x + \dfrac{3}{4}\right)\left(y + \dfrac{3}{4}\right) - \dfrac{3}{4}$ pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$.

Răspuns: $x \ast y = 4\left(x + \dfrac{3}{4}\right)\left(y + \dfrac{3}{4}\right) - \dfrac{3}{4}$

1. Notăm $t = x + \dfrac{3}{4}$. Din forma factorizată, $(x \ast y) + \dfrac{3}{4} = 4\left(x + \dfrac{3}{4}\right)\left(y + \dfrac{3}{4}\right)$, deci pentru $x = y$: $x \ast x = 4\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 - \dfrac{3}{4}$.
2. Repetând, $\left(x \ast x \ast x\right) + \dfrac{3}{4} = 16\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^3$.
3. Punem $x \ast x \ast x = -\dfrac{1}{2}$: $16\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^3 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$, deci $\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^3 = \dfrac{1}{64}$.
4. Rezultă $x + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$, adică $x = -\dfrac{1}{2}$.

Răspuns: $x = -\dfrac{1}{2}$

1. Folosim relația $(u \ast v) + \dfrac{3}{4} = 4\left(u + \dfrac{3}{4}\right)\left(v + \dfrac{3}{4}\right)$ cu $u = f(x) = ae^x - \dfrac{3}{4}$ și $v = f(y) = ae^y - \dfrac{3}{4}$.
2. Atunci $u + \dfrac{3}{4} = ae^x$ și $v + \dfrac{3}{4} = ae^y$, deci $f(x) \ast f(y) = 4 \cdot ae^x \cdot ae^y - \dfrac{3}{4} = 4a^2 e^{x+y} - \dfrac{3}{4}$.
3. Cum $f(x+y) = ae^{x+y} - \dfrac{3}{4}$, egalitatea $f(x) \ast f(y) = f(x+y)$ pentru orice $x, y$ revine la $4a^2 = a$.
4. Rezolvăm $4a^2 - a = 0 \Leftrightarrow a(4a - 1) = 0$, deci $a = 0$ sau $a = \dfrac{1}{4}$.

Răspuns: $a = 0$ sau $a = \dfrac{1}{4}$

1. Derivăm: $f'(x) = (8x^2)' - (\ln x)' = 16x - \dfrac{1}{x}$.
2. Aducem la același numitor: $f'(x) = \dfrac{16x^2 - 1}{x}$.
3. Numărătorul este o diferență de pătrate: $16x^2 - 1 = (4x)^2 - 1^2 = (4x-1)(4x+1)$.
4. Așadar $f'(x) = \dfrac{(4x-1)(4x+1)}{x}$, $x \in (0,+\infty)$.

Răspuns: $f'(x) = \dfrac{(4x-1)(4x+1)}{x}$

1. Calculăm valoarea în punct: $f(1) = 8 \cdot 1^2 - \ln 1 = 8$, deci punctul de tangență este $(1, 8)$.
2. Calculăm panta: $f'(1) = \dfrac{(4-1)(4+1)}{1} = 15$.
3. Ecuația tangentei: $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$, adică $y - 8 = 15(x - 1)$, deci $y = 15x - 7$.
4. Verificăm $A\!\left(\dfrac{2}{3}, 3\right)$: $15 \cdot \dfrac{2}{3} - 7 = 10 - 7 = 3$, deci $A$ aparține tangentei.

Răspuns: $A\!\left(\dfrac{2}{3}, 3\right)$ aparține tangentei $y = 15x - 7$.

1. Studiem semnul lui $f'(x) = \dfrac{(4x-1)(4x+1)}{x}$ pe $(0,+\infty)$. Pentru $x > \dfrac{1}{4}$ avem $4x - 1 > 0$, $4x + 1 > 0$ și $x > 0$, deci $f'(x) > 0$ și $f$ este strict crescătoare pe $\left(\dfrac{1}{4},+\infty\right)$.
2. Comparăm argumentele: $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$, $\dfrac{1}{\sqrt{7}} \approx 0{,}38$, $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$, toate mai mari decât $\dfrac{1}{4}$, deci $\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{\sqrt{7}} < \dfrac{1}{2}$.
3. Cum $f$ este strict crescătoare pe acest interval, ordinea valorilor se păstrează: $f\!\left(\dfrac{1}{3}\right) < f\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}}\right) < f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$.

Răspuns: $f\!\left(\dfrac{1}{3}\right) < f\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}}\right) < f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$

1. Simplificăm integranda: $(x+3)f(x) = (x+3) \cdot \dfrac{2x+3}{x+3} = 2x+3$.
2. O primitivă este $F(x) = x^2 + 3x$, deci $F(0) = 0$ și $F(1) = 1 + 3 = 4$.
3. Aplicăm Leibniz-Newton: $\displaystyle\int_0^1 (x+3)f(x)\,dx = F(1) - F(0) = 4 - 0 = 4$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^1 (x+3)f(x)\,dx = 4$

1. Descompunem $f(x) = \dfrac{2x+3}{x+3} = \dfrac{2(x+3) - 3}{x+3} = 2 - \dfrac{3}{x+3}$.
2. O primitivă este $F(x) = 2x - 3\ln(x+3)$, deci $F(0) = -3\ln 3$ și $F(1) = 2 - 3\ln 4$.
3. Aplicăm Leibniz-Newton: $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = F(1) - F(0) = (2 - 3\ln 4) - (-3\ln 3) = 2 - 3\ln 4 + 3\ln 3 = 2 - 3\ln\dfrac{4}{3}$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = 2 - 3\ln\dfrac{4}{3}$

1. Simplificăm integranda: $(x+3)^n\left(f(x)\right)^n = (x+3)^n \cdot \dfrac{(2x+3)^n}{(x+3)^n} = (2x+3)^n$, deci $I_n = \displaystyle\int_0^1 e^x (2x+3)^n\,dx$.
2. Integrăm prin părți cu $u = (2x+3)^n$ și $v' = e^x$: $I_n = \left[e^x(2x+3)^n\right]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 e^x \cdot 2n(2x+3)^{n-1}\,dx$.
3. Termenul liber este $\left[e^x(2x+3)^n\right]_0^1 = e \cdot 5^n - 1 \cdot 3^n = e\cdot 5^n - 3^n$, iar integrala rămasă este $2n\,I_{n-1}$.
4. Așadar $I_n = e\cdot 5^n - 3^n - 2n\,I_{n-1}$, adică $I_n + 2n\,I_{n-1} = e\cdot 5^n - 3^n$, pentru orice $n \geq 1$.

Răspuns: $I_n + 2nI_{n-1} = e\cdot 5^n - 3^n$