Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Subiect Model 2019

1. Pentru ca $\dfrac{3}{x+1}$ să fie număr natural, $x+1$ trebuie să fie un divizor pozitiv al lui $3$, deci $x+1 \in \{1, 3\}$.
2. Din $x+1 = 1$ obținem $x = 0$, iar din $x+1 = 3$ obținem $x = 2$ (ambele numere întregi).
3. Verificăm: pentru $x = 0$, $\dfrac{3}{1} = 3 \in \mathbb{N}$, iar pentru $x = 2$, $\dfrac{3}{3} = 1 \in \mathbb{N}$.

Răspuns: $M = \{0, 2\}$

1. Din relațiile lui Viète avem $x_1 + x_2 = m$ și $x_1 x_2 = -1$.
2. Scriem $\dfrac{x_i^2 - 1}{x_i} = x_i - \dfrac{1}{x_i}$, deci suma devine $(x_1 + x_2) - \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = m - \dfrac{m}{-1} = 2m$.
3. Din condiția $2m = 2$ rezultă $m = 1$.

Răspuns: $m = 1$

1. Scriem ecuația sub forma $\sqrt{2-x} = x$; pentru ca radicalul să fie egal cu $x$ impunem condiția $x \geq 0$ (și $2 - x \geq 0$).
2. Ridicăm la pătrat: $2 - x = x^2$, adică $x^2 + x - 2 = 0$, cu soluțiile $x = 1$ și $x = -2$.
3. Condiția $x \geq 0$ elimină $x = -2$; verificăm $x = 1$: $\sqrt{2-1} = 1$, adevărat.

Răspuns: $x = 1$

1. Mulțimea $A$ se obține pentru $n \in \{1, 2, \ldots, 20\}$, deci numărul cazurilor posibile este $20$.
2. $\log_2 n \in \mathbb{N}$ doar când $n$ este putere a lui $2$: $n \in \{1, 2, 4, 8, 16\}$, adică $5$ cazuri favorabile.
3. Probabilitatea este $\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}} = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$.

Răspuns: $P = \dfrac{1}{4}$

1. Panta dreptei $MP$ este $m_{MP} = \dfrac{1-2}{1-0} = -1$.
2. Mediatoarea este perpendiculară pe $MP$, deci panta ei este $-\dfrac{1}{m_{MP}} = 1$, și trece prin mijlocul $N\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$.
3. Scriem ecuația: $y - \dfrac{3}{2} = 1\cdot\left(x - \dfrac{1}{2}\right)$, adică $y = x + 1$.

Răspuns: $y = x + 1$

1. Latura $AB$ este opusă unghiului $C$, iar $BC$ este opusă unghiului $A$; aplicăm teorema sinusurilor: $\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AB}{\sin C}$.
2. Înlocuim $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$: $BC = \dfrac{AB \cdot \sin A}{\sin C} = \dfrac{5\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{1}{2}}$.
3. Calculăm: $BC = 5\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2 = 10$.

Răspuns: $BC = 10$

1. Înlocuim $m = 0$ în matricea $M(m)$ și dezvoltăm determinantul după prima linie, folosind cofactorii $C_{ij}$.
2. Minorul elementului $a_{11}$ este $1$, iar suma contribuțiilor primului și ultimului element ale liniei, $1 \cdot C_{11} + 4 \cdot C_{13}$, este $-3$.
3. Adunând și termenul corespunzător elementului $a_{12}$ obținem valoarea totală a determinantului, $\det(M(0)) = 3$.

Răspuns: $\det(M(0)) = 3$

1. Calculăm determinantul sistemului pentru un $m$ oarecare: $\det(M(m)) = -4m^2 + m + 3$.
2. Sistemul are soluție unică dacă și numai dacă $\det(M(m)) \neq 0$, deci rezolvăm $-4m^2 + m + 3 = 0$, echivalent cu $4m^2 - m - 3 = 0$.
3. Soluțiile sunt $m = \dfrac{1 \pm 7}{8}$, adică $m = 1$ și $m = -\dfrac{3}{4}$; acestea se exclud.

Răspuns: $m \in \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{3}{4}, 1\right\}$

1. Pentru $m = 1$ determinantul este nul, deci sistemul este compatibil nedeterminat, cu soluțiile $(x, y, z) = (3 - 2\alpha,\ 1 - \alpha,\ \alpha)$, $\alpha \in \mathbb{R}$.
2. Impunem condiția $4y_0^2 = (x_0 + z_0)^2$: $4(1-\alpha)^2 = (3 - 2\alpha + \alpha)^2 = (3 - \alpha)^2$, adică $2|1-\alpha| = |3-\alpha|$.
3. Din $2(1-\alpha) = 3-\alpha$ obținem $\alpha = -1$, iar din $2(1-\alpha) = -(3-\alpha)$ obținem $\alpha = \dfrac{5}{3}$.
4. Înlocuind, găsim soluțiile $(5, 2, -1)$ și $\left(-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{2}{3}, \dfrac{5}{3}\right)$.

Răspuns: $(x_0, y_0, z_0) \in \left\{(5, 2, -1),\ \left(-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{2}{3}, \dfrac{5}{3}\right)\right\}$

1. Dezvoltăm produsul folosind $(x - a)(y - a) = xy - ax - ay + a^2$ cu $a = \dfrac{3}{2}$: $\dfrac{1}{3}\left(xy - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{3}{2}y + \dfrac{9}{4}\right) = \dfrac{1}{3}xy - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}y + \dfrac{3}{4}$.
2. Adunăm termenul liber $\dfrac{3}{2}$: $\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4}$, deci expresia devine $\dfrac{1}{3}xy - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}y + \dfrac{9}{4}$.
3. Aceasta coincide exact cu definiția legii $x * y$, deci egalitatea este demonstrată pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$.

Răspuns: $x * y = \dfrac{1}{3}\left(x - \dfrac{3}{2}\right)\left(y - \dfrac{3}{2}\right) + \dfrac{3}{2}$

1. Notăm $u = x - \dfrac{3}{2}$; din forma factorizată, $x * x - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{3}u^2$, deci $x * x = \dfrac{1}{3}x^2 - x + \dfrac{9}{4}$.
2. Compunând încă o dată cu $x$ obținem $x * x * x - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3}u^2\right)u = \dfrac{1}{9}u^3$.
3. Ecuația $x * x * x = x$ devine $\dfrac{1}{9}u^3 + \dfrac{3}{2} = u + \dfrac{3}{2}$, adică $u^3 = 9u$, deci $u \in \{-3, 0, 3\}$.
4. Revenind, $x = u + \dfrac{3}{2} \in \left\{-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{3}{2},\ \dfrac{9}{2}\right\}$.

Răspuns: $x \in \left\{-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{3}{2},\ \dfrac{9}{2}\right\}$

1. Elementul neutru $e$ verifică $x * e = x$ pentru orice $x$; din forma factorizată rezultă $\dfrac{1}{3}(e - \dfrac{3}{2}) = 1$, deci $e = \dfrac{9}{2}$.
2. Condiția $n * n' = e = \dfrac{9}{2}$ devine $\dfrac{1}{3}\left(n - \dfrac{3}{2}\right)\left(n' - \dfrac{3}{2}\right) = 3$; înmulțind cu $4$ și aducând termenii, obținem $4nn' - 6n - 6n' = 27$.
3. Membrul stâng $4nn' - 6n - 6n'$ este un număr par pentru orice $n, n' \in \mathbb{N}$, în timp ce membrul drept $27$ este impar.
4. Egalitatea unui număr par cu unul impar este imposibilă, deci nu există niciun număr natural $n$ al cărui simetric să fie natural.

Răspuns: Nu există $n \in \mathbb{N}$ cu simetricul $n' \in \mathbb{N}$, deoarece $4nn' - 6n - 6n' = 27$ ar egala un număr par cu unul impar.

1. Derivăm: $f'(x) = 1 - \dfrac{(x^2+x+1)'}{x^2+x+1} = 1 - \dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$.
2. Aducem la același numitor: numărătorul devine $(x^2+x+1) - (2x+1) = x^2 - x$.
3. Factorizăm numărătorul: $x^2 - x = x(x-1)$, deci $f'(x) = \dfrac{x(x-1)}{x^2+x+1}$ (numitorul fiind strict pozitiv pe $\mathbb{R}$).

Răspuns: $f'(x) = \dfrac{x(x-1)}{x^2+x+1}$

1. Tangenta este paralelă cu dreapta dată dacă pantele sunt egale: $f'(a) = -\dfrac{1}{7}$, adică $\dfrac{a(a-1)}{a^2+a+1} = -\dfrac{1}{7}$.
2. Înmulțim cu $7(a^2+a+1)$: $7(a^2 - a) = -(a^2 + a + 1)$, de unde $8a^2 - 6a + 1 = 0$.
3. Discriminantul este $36 - 32 = 4$, deci $a = \dfrac{6 \pm 2}{16}$, adică $a = \dfrac{1}{2}$ sau $a = \dfrac{1}{4}$.

Răspuns: $a \in \left\{\dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{2}\right\}$

1. Funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, cu $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, $f(0) = 0$ și $f(1) = 1 - \ln 3 \in (-1, 0)$.
2. Din semnul lui $f'(x) = \dfrac{x(x-1)}{x^2+x+1}$, $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty, 0)$, strict descrescătoare pe $(0, 1)$ și strict crescătoare pe $(1, +\infty)$.
3. Pe $[0, +\infty)$ avem $f(x) \geq f(1) = 1 - \ln 3 > -1 \geq -n$, deci $f(x) + n > 0$ și ecuația nu are soluții aici.
4. Pe $(-\infty, 0)$, $f$ este strict crescătoare de la $-\infty$ la $f(0) = 0 > -n$, deci prin teorema valorilor intermediare ecuația $f(x) = -n$ are exact o soluție.

Răspuns: Pentru fiecare $n \in \mathbb{N}^*$, ecuația $f(x) + n = 0$ are soluție unică (situată în $(-\infty, 0)$).

1. Simplificăm integrandul: $e^x f(x) = e^x \cdot \dfrac{x}{e^x} = x$.
2. O primitivă a funcției $x \mapsto x$ este $\dfrac{x^2}{2}$.
3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle\int_0^2 x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\Big|_0^2 = \dfrac{4}{2} - 0 = 2$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^2 e^x f(x)\,dx = 2$

1. Pe $[-1, 0]$ avem $f(x) = xe^{-x} \leq 0$, iar pe $[0, 1]$, $f(x) \geq 0$, deci aria este $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-1}^{0}(-x)e^{-x}\,dx + \int_{0}^{1} xe^{-x}\,dx$.
2. O primitivă a lui $xe^{-x}$ este $-(x+1)e^{-x}$ (se verifică derivând), deci o primitivă a lui $-xe^{-x}$ este $(x+1)e^{-x}$.
3. Calculăm $\displaystyle\int_{-1}^{0}(-x)e^{-x}\,dx = (x+1)e^{-x}\Big|_{-1}^{0} = 1 - 0 = 1$ și $\displaystyle\int_{0}^{1} xe^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x}\Big|_{0}^{1} = -\dfrac{2}{e} + 1$.
4. Adunând: $\mathcal{A} = 1 + \left(1 - \dfrac{2}{e}\right) = 2 - \dfrac{2}{e}$.

Răspuns: Aria este $2 - \dfrac{2}{e}$.

1. Scriem $I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \cdot \dfrac{x}{e^x}\,dx = \int_0^1 x^{n+1}e^{-x}\,dx$ și integrăm $\displaystyle\int_0^1 x^{n+2}e^{-x}\,dx$ prin părți cu $u = x^{n+2}$, $dv = e^{-x}dx$.
2. Obținem $\displaystyle\int_0^1 x^{n+2}e^{-x}\,dx = \left[-x^{n+2}e^{-x}\right]_0^1 + (n+2)\int_0^1 x^{n+1}e^{-x}\,dx = -e^{-1} + (n+2)I_n$, deci $(n+2)I_n = \dfrac{1}{e} + \displaystyle\int_0^1 x^{n+2}e^{-x}\,dx$.
3. Pe $[0,1]$ avem $0 \leq x^{n+2}e^{-x} \leq x^{n+2}$, deci $0 \leq \displaystyle\int_0^1 x^{n+2}e^{-x}\,dx \leq \dfrac{1}{n+3} \to 0$; prin teorema cleștelui integrala rămasă tinde la $0$.
4. Trecând la limită: $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n+2)I_n = \dfrac{1}{e} + 0 = \dfrac{1}{e}$.

Răspuns: $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n+2)I_n = \dfrac{1}{e}$