Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Toamnă 2019

1. Condiția $n - 1 \leq 4$ se scrie $n \leq 5$, deci, cu $n \in \mathbb{N}$, avem $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
2. Mulțimea $A$ are $6$ elemente, iar cel mai mare dintre ele este $5$.
3. Suma elementelor este $0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.

Răspuns: Suma elementelor mulțimii $A$ este $15$.

1. Pentru $f(x) = x^2 - 2x + m$ avem $a = 1$, $b = -2$, $c = m$, deci $\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 4m$.
2. Ordonata vârfului parabolei este $-\dfrac{\Delta}{4a} = -\dfrac{4 - 4m}{4} = m - 1$.
3. Impunem $m - 1 = 2$, de unde obținem $m = 3$.

Răspuns: $m = 3$

1. Condițiile de existență: $x + 3 \geq 0$ și $9 - x \geq 0$, adică $x \in [-3, 9]$.
2. Ridicăm la pătrat ambii membri: $x + 3 = 9 - x$, de unde $2x = 6$.
3. Rezolvăm și obținem $x = 3$, care aparține intervalului $[-3, 9]$, deci este soluție.

Răspuns: $x = 3$

1. Submulțimile cu cel puțin $8$ elemente au $8$, $9$ sau $10$ elemente, deci numărul lor este $C_{10}^{8} + C_{10}^{9} + C_{10}^{10}$.
2. Calculăm: $C_{10}^{8} = C_{10}^{2} = 45$, $C_{10}^{9} = C_{10}^{1} = 10$ și $C_{10}^{10} = 1$.
3. Adunăm: $45 + 10 + 1 = 56$.

Răspuns: $56$ submulțimi

1. $D$ este mijlocul lui $AB$: $D\left(\dfrac{5 + (-1)}{2}, \dfrac{1 + 3}{2}\right) = D(2, 2)$.
2. Lungimea lui $CD$ cu $C(8, 10)$ și $D(2, 2)$: $CD = \sqrt{(8-2)^2 + (10-2)^2}$.
3. Calculăm: $CD = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Răspuns: $CD = 10$

1. Suma este $\displaystyle\sum_{k=0}^{2019} \cos k\pi = \sum_{k=0}^{2019} (-1)^k$, deoarece $\cos k\pi = (-1)^k$.
2. Termenii cu $k$ impar (de forma $(2k+1)\pi$) sunt $1010$ la număr și fiecare valorează $-1$; termenii cu $k$ par sunt $1010$ la număr și fiecare valorează $1$.
3. Grupând câte un termen par cu unul impar obținem $1010$ perechi de forma $1 + (-1) = 0$, deci suma totală este $0$.

Răspuns: Suma este egală cu $0$.

1. Pentru $a = 1$ avem $A(1) = \begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}$.
2. Dezvoltăm determinantul după prima linie: $\det(A(1)) = 2 \cdot \det\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix} = 2 \cdot 2 = 4$.

Răspuns: $\det(A(1)) = 4$

1. Calculăm produsul $A(a)A(b)$ element cu element; de exemplu, elementul $(1,1)$ este $(a+1)(b+1) = ab + a + b + 1$, iar elementul $(2,2)$ este $ab$.
2. Membrul drept $abI_3 + (a+b+1)A(0)$ are pe poziția $(1,1)$ valoarea $ab + (a+b+1) = ab + a + b + 1$, iar pe poziția $(2,2)$ valoarea $ab + 0 = ab$.
3. Comparând toate cele nouă poziții, cele două matrice coincid, deci $A(a)A(b) = abI_3 + (a+b+1)A(0)$ pentru orice $a, b \in \mathbb{R}$.

Răspuns: $A(a)A(b) = abI_3 + (a+b+1)A(0)$

1. Din relația de la b), cu $a = 0$, obținem $A(0)A(b) = 0 \cdot b \, I_3 + (b+1)A(0) = (b+1)A(0)$.
2. Aplicând repetat: $A(0)A(1) = 2A(0)$, apoi $\cdot A(2) = 2 \cdot 3 \, A(0)$, și așa mai departe până la $A(2019)$, obținem $A(0)A(1)\ldots A(2019) = (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 2020)\,A(0)$.
3. Produsul $2 \cdot 3 \cdots 2020 = 2020!$, deci $n!\,A(0) = 2020!\,A(0)$, de unde $n = 2020$.

Răspuns: $n = 2020$

1. Înlocuim $X = 1$ în $f = X^3 - mX^2 + 2X + 3 - m$: $f(1) = 1 - m + 2 + 3 - m = 6 - 2m$.
2. Impunem $f(1) = 0$, adică $6 - 2m = 0$, de unde $m = 3$.

Răspuns: $m = 3$

1. Pentru $m = 3$ obținem $f = X^3 - 3X^2 + 2X = X(X^2 - 3X + 2)$.
2. Factorizăm trinomul: $X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X - 2)$, deci $f = X(X-1)(X-2)$.
3. Rădăcinile sunt $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$.

Răspuns: $\{0, 1, 2\}$

1. Din relațiile lui Viète: $x_1 + x_2 + x_3 = m$, $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 2$ și $x_1x_2x_3 = m - 3$.
2. Folosind identitatea $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = s_1^3 - 3s_1 s_2 + 3s_3$, obținem $m^3 - 3m \cdot 2 + 3(m-3) = m^3 - 3m - 9$.
3. Condiția devine $m^3 - 3m - 9 = m^3 - 12$, adică $-3m - 9 = -12$, deci $-3m = -3$ și $m = 1$.

Răspuns: $m = 1$

1. Derivăm termen cu termen: $\left(-\dfrac{2}{x+1}\right)' = \dfrac{2}{(x+1)^2}$, iar $\left(-\ln\dfrac{x}{x+1}\right)' = -\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}\right) = \dfrac{-1}{x(x+1)}$.
2. Adunăm: $f'(x) = \dfrac{2}{(x+1)^2} - \dfrac{1}{x(x+1)}$ și aducem la numitorul comun $x(x+1)^2$.
3. Numărătorul devine $2x - (x+1) = x - 1$, deci $f'(x) = \dfrac{x-1}{x(x+1)^2}$.

Răspuns: $f'(x) = \dfrac{x-1}{x(x+1)^2}$

1. Când $x \to +\infty$: $\dfrac{2}{x+1} \to 0$, iar $\dfrac{x}{x+1} \to 1$, deci $\ln\dfrac{x}{x+1} \to \ln 1 = 0$.
2. Prin urmare $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 - 0 - 0 = 1$.
3. Limita fiind finită, dreapta $y = 1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

Răspuns: $y = 1$

1. Observăm că $f(x) = \dfrac{x-1}{x+1} - \ln\dfrac{x}{x+1} = g(x) - h(x)$, deci graficele lui $g$ și $h$ se intersectează doar acolo unde $f(x) = 0$.
2. Cum $f'(x) = \dfrac{x-1}{x(x+1)^2}$ se anulează în $x = 1$ ($f$ descrescătoare pe $(0,1]$ și crescătoare pe $[1,+\infty)$), avem $f(x) \geq f(1)$ pentru orice $x \in (0,+\infty)$.
3. Calculăm $f(1) = 1 - \dfrac{2}{2} - \ln\dfrac{1}{2} = \ln 2 > 0$, deci $f(x) \geq \ln 2 > 0$ și ecuația $f(x) = 0$ nu are soluții.

Răspuns: Graficele funcțiilor $g$ și $h$ nu au niciun punct comun.

1. Avem $f^2(x) = \left(\sqrt{x^2+4}\right)^2 = x^2 + 4$.
2. O primitivă este $F(x) = \dfrac{x^3}{3} + 4x$, deci $\displaystyle\int_0^1 (x^2+4)\,dx = F(1) - F(0) = \dfrac{1}{3} + 4$.
3. Obținem $\dfrac{1}{3} + 4 = \dfrac{1 + 12}{3} = \dfrac{13}{3}$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^1 f^2(x)\,dx = \dfrac{13}{3}$

1. Funcția $g(x) = x\sqrt{x^2+4}$ este impară; pe $[-1,0]$ avem $g \leq 0$, iar pe $[0,1]$ avem $g \geq 0$, deci aria este $\displaystyle\int_{-1}^{1} |g(x)|\,dx = 2\int_0^1 x\sqrt{x^2+4}\,dx$.
2. O primitivă a lui $x\sqrt{x^2+4}$ este $\dfrac{1}{3}(x^2+4)^{3/2}$, iar în $x=1$ obținem $(1+4)^{3/2} = 5\sqrt{5}$, în $x=0$ obținem $4^{3/2} = 8$.
3. Aria este $2 \cdot \dfrac{1}{3}\left(5\sqrt{5} - 8\right) = \dfrac{10\sqrt{5} - 16}{3}$.

Răspuns: Aria este $\dfrac{10\sqrt{5} - 16}{3}$.

1. Limita este de forma $\dfrac{0}{0}$, deci aplicăm l'Hôpital; derivata numărătorului $\displaystyle\int_0^x t^3 f(t)\,dt$ este $x^3 f(x)$, iar a numitorului $x^4$ este $4x^3$.
2. Limita devine $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x^3 f(x)}{4x^3} = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{4}$.
3. Cum $f(0) = \sqrt{0+4} = 2$, obținem $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Răspuns: $\dfrac{1}{2}$