Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Vară 2019

1. Recunoaștem produsul conjugatelor și aplicăm formula $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, cu $a = 3$ și $b = i\sqrt{2}$.
2. Obținem $n = 3^2 - \left(i\sqrt{2}\right)^2 = 9 - i^2 \cdot 2 = 9 - 2i^2$.
3. Înlocuim $i^2 = -1$ și calculăm $n = 9 - 2 \cdot (-1) = 9 + 2 = 11$.
4. Cum $11 \in \mathbb{Z}$, numărul $n$ este întreg.

Răspuns: $n = 11 \in \mathbb{Z}$

1. Punctul $A(a, 3)$ aparține graficului lui $f$ dacă și numai dacă $f(a) = 3$.
2. Calculăm $f(a) = 2a + a$, deci condiția devine ecuația $2a + a = 3$.
3. Rezolvăm $3a = 3$ și obținem $a = 1$.

Răspuns: $a = 1$

1. Înmulțim ambii membri ai ecuației $2019^x + 2019^{-x} = 2$ cu $2019^x > 0$ și obținem $\left(2019^x\right)^2 + 1 = 2 \cdot 2019^x$.
2. Trecem totul într-un membru: $\left(2019^x\right)^2 - 2 \cdot 2019^x + 1 = 0$, adică $\left(2019^x - 1\right)^2 = 0$.
3. De aici $2019^x = 1 = 2019^0$, deci $x = 0$.

Răspuns: $x = 0$

1. Numerele naturale de două cifre sunt $10, 11, \ldots, 99$, deci numărul cazurilor posibile este $90$.
2. Pentru cifra unităților impară ($1, 3, 5, 7, 9$) avem $5$ alegeri, iar pentru cifra zecilor ($1, \ldots, 9$) avem $9$ alegeri, deci $9 \cdot 5 = 45$ cazuri favorabile.
3. Probabilitatea este $P = \dfrac{45}{90} = \dfrac{1}{2}$.

Răspuns: $P = \dfrac{1}{2}$

1. Calculăm panta dreptei $AB$: $m_{AB} = \dfrac{-2 - (-3)}{2 - 3} = \dfrac{1}{-1} = -1$.
2. Cum $d \perp AB$, avem $m_d = -\dfrac{1}{m_{AB}} = -\dfrac{1}{-1} = 1$.
3. Dreapta $d$ trece prin $A(3, -3)$: $y - (-3) = 1 \cdot (x - 3)$, adică $y + 3 = x - 3$.
4. Obținem ecuația $y = x - 6$.

Răspuns: $d: y = x - 6$

1. Dezvoltăm cu formulele sumei și diferenței: $\sin(a-b)\sin(a+b) = (\sin a\cos b - \cos a\sin b)(\sin a\cos b + \cos a\sin b)$.
2. Aplicăm $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$ și obținem $\sin^2 a\cos^2 b - \cos^2 a\sin^2 b$.
3. Înlocuim $\cos^2 b = 1 - \sin^2 b$ și $\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$: $\sin^2 a(1 - \sin^2 b) - (1 - \sin^2 a)\sin^2 b = \sin^2 a - \sin^2 b$.
4. Membrul drept este $(\sin a - \sin b)(\sin a + \sin b) = \sin^2 a - \sin^2 b$, deci cei doi membri coincid.

Răspuns: $\sin(a-b)\sin(a+b) = \sin^2 a - \sin^2 b = (\sin a - \sin b)(\sin a + \sin b)$

1. Aplicăm regula lui Sarrus pentru $\det(A(a))$ cu $A(a) = \begin{pmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{pmatrix}$.
2. Suma termenilor pozitivi este $a \cdot 2 \cdot a + 0 + 0 = 2a^2$.
3. Suma termenilor negativi este $-\bigl((-a) \cdot 2 \cdot (-a) + 0 + 0\bigr) = -2a^2$.
4. Adunând, $\det(A(a)) = 2a^2 - 2a^2 = 0$ pentru orice $a \in \mathbb{R}$.

Răspuns: $\det(A(a)) = 0$, pentru orice $a \in \mathbb{R}$

1. Înmulțim linia $1$ a lui $A(a)$ cu coloana $1$ a lui $A(b)$: elementul $(1,1)$ este $a \cdot b + 0 \cdot 0 + (-a)(-b) = ab + ab = 2ab$.
2. Înmulțim linia $2$ cu coloana $2$: elementul $(2,2)$ este $0 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 4$.
3. Procedând la fel pentru toate pozițiile, $A(a)A(b) = \begin{pmatrix} 2ab & 0 & -2ab \\ 0 & 4 & 0 \\ -2ab & 0 & 2ab \end{pmatrix} = 2A(ab)$.

Răspuns: $A(a)A(b) = 2A(ab)$, pentru orice $a, b \in \mathbb{R}$

1. Folosind $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$, produsul telescopic $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \ldots \cdot \log_{15} 16 = \log_2 16 = 4$.
2. Din punctul b), $A(a)A(b) = 2A(ab)$; aplicând repetat celor $14$ factori, $B = 2^{13} \cdot A(4)$.
3. Elementul $(1,1)$ al matricei $B$ este $2^{13} \cdot 4 = 2^{13} \cdot 2^2 = 2^{15}$, iar toate elementele lui $B = 2^{13}A(4)$ sunt numere întregi.

Răspuns: $B = 2^{13}A(4)$ are toate elementele întregi; $b_{11} = 2^{15}$

1. Calculăm $f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + m(-1) + n = -m + n$ și $f(0) = n$.
2. Deci $f(-1) - 2f(0) = (-m + n) - 2n = -m - n$.
3. Calculăm $f(1) = 1 + 1 + m + n = 2 + m + n$.
4. Adunăm: $f(-1) - 2f(0) + f(1) = (-m - n) + (2 + m + n) = 2$.

Răspuns: $f(-1) - 2f(0) + f(1) = 2$, pentru orice $m, n \in \mathbb{R}$

1. Cum $X^2 - 1 = (X-1)(X+1)$, $f$ este divizibil cu $X^2 - 1$ dacă și numai dacă $f(1) = 0$ și $f(-1) = 0$.
2. Din $f(1) = 2 + m + n = 0$ obținem $m + n = -2$, iar din $f(-1) = -m + n = 0$ obținem $n = m$.
3. Rezolvăm sistemul: $2m = -2$, deci $m = -1$ și $n = -1$.

Răspuns: $m = -1$, $n = -1$

1. Din relațiile lui Viète: $x_1+x_2+x_3 = -1$, $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = m$ și $x_1x_2x_3 = -n$.
2. Astfel $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2x_3 = m + (-n) = m - n$.
3. Folosind formula sumei de cuburi: $x_1^3+x_2^3+x_3^3 = (-1)^3 - 3(-1)(m) + 3(-n) = 3m - 3n - 1$.
4. Înlocuim în expresie: $3(m - n) - (3m - 3n - 1) = 3m - 3n - 3m + 3n + 1 = 1$.

Răspuns: $3(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2x_3) - (x_1^3+x_2^3+x_3^3) = 1$

1. Derivăm produsul $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$ cu regula $(uv)' = u'v + uv'$, unde $u = x^2$ și $v = e^{-x}$.
2. Cum $u' = 2x$ și $v' = -e^{-x}$, obținem $f'(x) = 2xe^{-x} - x^2 e^{-x}$.
3. Scoatem factorul comun $xe^{-x}$: $f'(x) = xe^{-x}(2 - x)$, adică $f'(x) = x(2-x)e^{-x}$.

Răspuns: $f'(x) = x(2-x)e^{-x}$

1. Rezolvăm $f'(x) = x(2-x)e^{-x} = 0$; cum $e^{-x} > 0$ pentru orice $x$, rămâne $x(2-x) = 0$, deci $x = 0$ sau $x = 2$.
2. Studiem semnul lui $f'(x)$, dat de semnul lui $x(2-x)$: negativ pe $(-\infty, 0)$, pozitiv pe $(0, 2)$, negativ pe $(2, +\infty)$.
3. Prin urmare $f$ este descrescătoare pe $(-\infty, 0]$, crescătoare pe $[0, 2]$ și descrescătoare pe $[2, +\infty)$.

Răspuns: $f$ descrescătoare pe $(-\infty, 0]$, crescătoare pe $[0, 2]$, descrescătoare pe $[2, +\infty)$

1. Calculăm valorile cheie: $f(0) = 0$, $f(2) = 4e^{-2}$ (maximul local) și $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$, iar $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.
2. Pentru $a \in (0, 4e^{-2})$ avem $f(0) = 0 < a$, $f(2) = 4e^{-2} > a$ și limita la $+\infty$ este $0 < a$.
3. Cum $f$ este continuă și strict monotonă pe fiecare dintre $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ și $(2, +\infty)$, conform proprietății lui Darboux ecuația $f(x) = a$ are exact o soluție pe fiecare interval.
4. Așadar ecuația $f(x) = a$ are exact trei soluții reale.

Răspuns: Ecuația $f(x) = a$ are exact trei soluții reale, pentru orice $a \in (0, 4e^{-2})$

1. Simplificăm integrandul: $f(x) - \ln x = x^2 + \ln x - \ln x = x^2$.
2. O primitivă este $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$, cu $F(2) = \dfrac{8}{3}$ și $F(1) = \dfrac{1}{3}$.
3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle\int_1^2 x^2\,dx = F(2) - F(1) = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$.

Răspuns: $\displaystyle\int_1^2 \bigl(f(x) - \ln x\bigr)\,dx = \dfrac{7}{3}$

1. Simplificăm: $g(x) = 2x - x^2 + f(x) = 2x - x^2 + x^2 + \ln x = 2x + \ln x$, care este pozitivă pe $[1, e]$.
2. Aria este $\displaystyle\int_1^e (2x + \ln x)\,dx$; o primitivă (folosind integrarea prin părți pentru $\ln x$) este $F(x) = x^2 + x\ln x - x$.
3. Calculăm $F(1) = 1 + 0 - 1 = 0$ și $F(e) = e^2 + e \cdot 1 - e = e^2$.
4. Deci aria $= F(e) - F(1) = e^2 - 0 = e^2$.

Răspuns: Aria $= e^2$

1. Simplificăm integrandul: $x^n\bigl(f(x) - x^2\bigr) = x^n(x^2 + \ln x - x^2) = x^n\ln x$.
2. Integrăm prin părți cu $u = \ln x$, $v' = x^n$: $\displaystyle\int_{e^{-1}}^{1} x^n\ln x\,dx = \left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ln x\right]_{e^{-1}}^{1} - \dfrac{1}{n+1}\int_{e^{-1}}^{1} x^n\,dx$.
3. Termenul de frontieră în $x = 1$ este $0$, iar în $x = e^{-1}$ este $\dfrac{e^{-(n+1)}}{n+1}\cdot(-1) = -\dfrac{1}{(n+1)e^{n+1}}$, deci tinde la $0$ când $n \to +\infty$.
4. Și integrala rămasă $\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\int_{e^{-1}}^{1} x^n\,dx$ tinde la $0$, prin urmare limita căutată este $0$.

Răspuns: $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{e^{-1}}^{1}x^n\bigl(f(x)-x^2\bigr)\,dx = 0$