Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Vară 2019 (rezervă)

1. Rația progresiei geometrice este $q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{3}{1} = 3$.
2. Calculăm al treilea termen: $b_3 = b_2 \cdot q = 3 \cdot 3 = 9$.
3. Adunăm primii trei termeni: $b_1 + b_2 + b_3 = 1 + 3 + 9 = 13$.

Răspuns: $b_1 + b_2 + b_3 = 13$

1. Din relațiile lui Viète avem $x_1 + x_2 = -m$ și $x_1 x_2 = 7$.
2. Înlocuim în expresie: $2(x_1 + x_2) + 3x_1 x_2 = 2(-m) + 3 \cdot 7 = -2m + 21$.
3. Punem condiția $-2m + 21 = 1$, de unde $2m = 20$, deci $m = 10$.

Răspuns: $m = 10$

1. Condiții de existență: $x - 2 > 0$ și $x + 2 > 0$, deci $x > 2$.
2. Folosim $\log_2 A + \log_2 B = \log_2(AB)$: $\log_2\big((x-2)(x+2)\big) = 5$, adică $x^2 - 4 = 2^5 = 32$, deci $x^2 - 36 = 0$.
3. Obținem $x = 6$ sau $x = -6$; cum $x > 2$, reținem doar $x = 6$.

Răspuns: $x = 6$

1. Prima cifră se poate alege în $5$ moduri (oricare dintre elementele mulțimii).
2. A doua cifră trebuie să fie diferită de prima, deci se alege în $4$ moduri; a treia în $3$ moduri.
3. Numărul total este $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.

Răspuns: $60$ numere

1. Din $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$ avem $M - A = B - M$, deci $M$ este mijlocul segmentului $AB$.
2. Aplicăm formula mijlocului: $x_M = \dfrac{2 + 6}{2} = 4$ și $y_M = \dfrac{6 + 2}{2} = 4$.
3. Obținem coordonatele $M(4, 4)$.

Răspuns: $M(4, 4)$

1. Aria triunghiului este $\mathcal{A} = \dfrac{AB \cdot AC \cdot \sin\hat{A}}{2}$, cu $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Calculăm produsul: $AB \cdot AC \cdot \sin\hat{A} = 3\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{12 \cdot 3}{2} = 18$.
3. Așadar $\mathcal{A} = \dfrac{18}{2} = 9$.

Răspuns: $\mathcal{A}_{\triangle ABC} = 9$

1. Pentru $a = 0$, $A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Dezvoltăm după prima linie.
2. Cofactorii sunt $C_{12} = -\det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -1$ și $C_{13} = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1$.
3. Cum primul element al liniei este $0$, obținem $\det(A(0)) = 0 \cdot C_{11} + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0$.

Răspuns: $\det(A(0)) = 0$

1. Dezvoltăm determinantul după prima linie: $\det(A(a)) = a\big(-a^2-(-1)\big) - 1\big(a-(-1)\big) + 1\big(1-(-a)\big)$.
2. Reducem termenii: $= a(1-a^2) - (a+1) + (1+a) = -a^3 + a$.
3. Dăm factor comun pe $a$ și factorizăm: $-a^3 + a = a(1-a^2) = a(1-a)(1+a)$.

Răspuns: $\det(A(a)) = a(1-a)(1+a)$

1. Pentru $a = 0$ sistemul devine $\begin{cases} y + z = 1 \\ x - z = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}$, iar a treia ecuație este suma primelor două, deci sistemul este compatibil nedeterminat.
2. Notăm $z = t$, $t \in \mathbb{Z}$; atunci din $x - z = 1$ avem $x = 1 + t$, iar din $y + z = 1$ avem $y = 1 - t$.
3. Pentru orice $t \in \mathbb{Z}$, tripletul $(1+t,\, 1-t,\, t)$ are componente întregi și verifică sistemul, deci există o infinitate de soluții întregi.

Răspuns: $(x_0, y_0, z_0) = (1+t,\, 1-t,\, t)$, $t \in \mathbb{Z}$

1. Înlocuim $y = 2019$ în definiție: $x * 2019 = (x - 2019)(2019 - 2019) + 2019$.
2. Factorul $(2019 - 2019) = 0$, deci primul termen se anulează.
3. Rămâne $x * 2019 = 0 + 2019 = 2019$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$.

Răspuns: $x * 2019 = 2019$

1. Calculăm $x * x = (x - 2019)^2 + 2019$, apoi $(x * x) * x = \big((x-2019)^2\big)(x - 2019) + 2019 = (x - 2019)^3 + 2019$.
2. Ecuația $(x * x) * x = x$ devine $(x - 2019)^3 = x - 2019$. Notând $t = x - 2019$, obținem $t^3 - t = 0$, adică $t(t-1)(t+1) = 0$.
3. Soluțiile sunt $t \in \{-1, 0, 1\}$, deci $x \in \{2018, 2019, 2020\}$.

Răspuns: $x \in \{2018, 2019, 2020\}$

1. Din $m * n = (m - 2019)(n - 2019) + 2019 = 2020$ rezultă $(m - 2019)(n - 2019) = 1$.
2. Cum $m, n \in \mathbb{Z}$, produsul a doi întregi este $1$ doar dacă ambii factori sunt $1$ sau ambii sunt $-1$.
3. Cazul $1 \cdot 1$ dă $m = n = 2020$, iar cazul $(-1)(-1)$ dă $m = n = 2018$.

Răspuns: $(m, n) \in \{(2018, 2018),\, (2020, 2020)\}$

1. Derivăm termen cu termen, folosind $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ și $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$: $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x}$.
2. Aducem la numitor comun $2x$ și folosim $\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x}}{2x}$: $f'(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{2x} - \dfrac{2}{2x} = \dfrac{\sqrt{x}-2}{2x}$.
3. Verificare: $f'(4) = \dfrac{\sqrt{4}-2}{2 \cdot 4} = \dfrac{0}{8} = 0$.

Răspuns: $f'(x) = \dfrac{\sqrt{x}-2}{2x}$

1. Panta tangentei este $f'(1) = \dfrac{\sqrt{1}-2}{2 \cdot 1} = -\dfrac{1}{2}$.
2. Punctul de tangență are ordonata $f(1) = \sqrt{1} - \ln 1 = 1$.
3. Ecuația tangentei: $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$, adică $y - 1 = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$, deci $y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$.

Răspuns: $y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$

1. Observăm că $\sqrt{x} - \ln\dfrac{x}{4} = \sqrt{x} - \ln x + \ln 4 = f(x) + \ln 4$.
2. Din $f'(x) = \dfrac{\sqrt{x}-2}{2x} = 0$ obținem $x = 4$; $f'$ este negativă pe $(0,4)$ și pozitivă pe $(4,+\infty)$, deci $x = 4$ este punct de minim cu $f(4) = 2 - \ln 4$.
3. Prin urmare $f(x) \ge 2 - \ln 4$ pentru orice $x > 0$, deci $\sqrt{x} - \ln\dfrac{x}{4} = f(x) + \ln 4 \ge (2 - \ln 4) + \ln 4 = 2$.

Răspuns: $\sqrt{x} - \ln\dfrac{x}{4} \ge 2$, pentru orice $x \in (0,+\infty)$

1. Cu $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2+9}$, factorul $(x^2+9)$ se simplifică: $(x^2+9)f(x) = x^2$.
2. O primitivă a lui $x^2$ este $\dfrac{x^3}{3}$, deci $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}\Big|_0^1 = \dfrac{1}{3} - 0$.
3. Așadar $\displaystyle\int_0^1 (x^2+9)f(x)\,dx = \dfrac{1}{3}$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^1 (x^2+9)f(x)\,dx = \dfrac{1}{3}$

1. Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$, atunci $F'(x) = f(x)$ și $F''(x) = f'(x)$. Aplicând regula câtului la $\dfrac{x^2}{x^2+9}$, obținem $F''(x) = \dfrac{18x}{(x^2+9)^2}$.
2. Numitorul este strict pozitiv, deci $F''(x) = 0$ numai pentru $x = 0$; $F''(x) < 0$ pe $(-\infty, 0)$ și $F''(x) > 0$ pe $(0, +\infty)$.
3. Cum $F''$ își schimbă semnul o singură dată, în $x = 0$, orice primitivă $F$ are exact un punct de inflexiune.

Răspuns: $F$ are un singur punct de inflexiune, de abscisă $x = 0$

1. Pe $[0,1]$ avem $0 \le f(x) = \dfrac{x^2}{x^2+9} \le 1$, deci $0 \le x^{2n} f(x) \le x^{2n}$.
2. Integrând pe $[0,1]$, obținem $0 \le I_n \le \displaystyle\int_0^1 x^{2n}\,dx = \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\Big|_0^1 = \dfrac{1}{2n+1}$.
3. Cum $\dfrac{1}{2n+1} \to 0$ când $n \to +\infty$, prin criteriul cleștelui rezultă $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$.

Răspuns: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$