Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 1

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 1. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că numărul $a = (4+3i)^2 + (3-4i)^2$ este natural, unde $i^2 = -1$ .
2.Determinați cel mai mare număr întreg $m$ pentru care soluțiile ecuației $x^2 - 11x + m = 0$ sunt numere reale.
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_7(7x) + \log_x 7 = 3$ .
4.Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact $45$ de submulțimi cu două elemente.
5.În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,-2)$ , $B(-4,4)$ și $C(-4,0)$ . Calculați aria triunghiului $ABC$ .
6.Determinați $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ pentru care $\cos x\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)-\sin x\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{1}{2}$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & a^2-a\\0 & 1 & 2a\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}

, unde

a

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(1))=1$ .
b.Demonstrați că $A(a)\cdot A(b)=A(a+b)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .
c.Determinați matricea $X\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $A(3)\cdot X = A(5)$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

x*y=2xy-3x-3y+6

a.Arătați că $x*y=2\!\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\!\left(y-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
b.Determinați numerele reale $x$ pentru care $x*x=14$ .
c.Determinați numărul natural $n$ , știind că $\left(2^n+\dfrac{3}{2}\right)*\left(2^{n+1}+\dfrac{3}{2}\right)*\left(2^{n+2}+\dfrac{3}{2}\right)=2^{20}+\dfrac{3}{2}$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}-\dfrac{1}{x^2}

a.Arătați că $f'(x)=\dfrac{-2(3x^2-3x+1)}{x^3(x-1)^3}$ , $x\in(1,+\infty)$ .
b.Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A(0,3)$ și este paralelă cu tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c.Calculați $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\bigl(f(2)+f(3)+\cdots+f(n)\bigr)^{n^2}$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=\sqrt{x^2+1}

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^{\sqrt{3}}\dfrac{x}{f(x)}\,dx=1$ .
b.Calculați $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$ .
c.Arătați că există un unic număr real $x$ pentru care $\displaystyle\int_0^x e^{f^2(t)}\,dt=x$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.