Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 2

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 2. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Se consideră numărul complex $z=3-i$ . Arătați că $z^2-6z+10=0$ , unde $i^2=-1$ .
2.Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2+6$ . Determinați numărul real $a$ , știind că $f(a)=f(a-2)$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_4(x^2+4x+5)=\log_4(2x+4)$ .
4.Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu $16$ .
5.În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$ , $B(3,3)$ și $C(7,3)$ . Determinați coordonatele punctului $D$ , știind că $ABCD$ este paralelogram.
6.Se consideră $E(x)=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}-\operatorname{ctg}\dfrac{x}{2}+\operatorname{ctg}x+2\sin\dfrac{5x}{3}$ , unde $x\in(0,\pi)$ . Arătați că $E\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(a)=\begin{pmatrix}1 & -2a & 0\\0 & 1 & 0\\2a & -2a^2 & 1\end{pmatrix}

, unde

a

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(1))=1$ .
b.Demonstrați că $A(a)\cdot A(b)=A(a+b)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .
c.Demonstrați că, dacă $A(n)=A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)\cdot\ldots\cdot A(2020)$ , atunci numărul natural $n$ este multiplu de $2021$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

x*y=xy-\sqrt{3}\,(x+y)+3+\sqrt{3}

a.Arătați că $\sqrt{3}*0=\sqrt{3}$ .
b.Demonstrați că $x*y=\left(x-\sqrt{3}\right)\!\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
c.Calculați $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{1}}*\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}*\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}*\ldots*\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{96}}$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=\dfrac{x^2+4x+4}{e^x}

a.Arătați că $f'(x)=\dfrac{-x(x+2)}{e^x}$ , $x\in\mathbb{R}$ .
b.Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .
c.Demonstrați că $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\bigl(g(1)+g(2)+\cdots+g(n)\bigr)=\dfrac{1}{e-1}$ , unde $g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $g(x)=\dfrac{f(x)}{(x+2)^2}$ .

Se consideră funcția

f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^1 (x+1)f(x)\,dx=2$ .
b.Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=2-\ln 2$ .
c.Pentru fiecare număr natural nenul $n$ , se consideră numărul $I_n=\displaystyle\int_0^1 e^x(x+1)^n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx$ . Demonstrați că $I_n+2nI_{n-1}=3^n e-1$ , pentru orice număr natural $n$ , $n\ge 2$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.