Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 3

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 3. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Se consideră numărul complex $z = 1 + i$ . Arătați că $2z - z^2 = 2$ .
2.Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2 - mx + 2m$ , unde $m$ este număr real. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $m$ , știind că $f(x) > 0$ pentru orice număr real $x$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_5(\sqrt{x}+1) + \log_5(\sqrt{x}-1) = 2$ .
4.Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact $32$ de submulțimi.
5.În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$ , $B(2,5)$ și $C(6,1)$ . Determinați coordonatele punctului $D$ , știind că $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ .
6.Determinați $x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ pentru care $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) - \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x - \cos x$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

și

A(a) = \begin{pmatrix} a & 0 & 2-a \\ 0 & 2 & 0 \\ 2-a & 0 & a \end{pmatrix}

, unde

a

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(2)) = 8$ .
b.Demonstrați că $A(a) \cdot A(b) = 2A(ab - a - b + 2)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .
c.Determinați perechile de numere întregi $p$ și $q$ pentru care $A(p) \cdot A(q) = 4I_3$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

x * y = -\dfrac{3}{5}xy + x + y

a.Arătați că $x * y = -\dfrac{3}{5}\!\left(x - \dfrac{5}{3}\right)\!\left(y - \dfrac{5}{3}\right) + \dfrac{5}{3}$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
b.Arătați că $\dfrac{5x}{3} * \dfrac{5}{3x} \ge \dfrac{5}{3}$ , pentru orice $x \in (0, +\infty)$ .
c.Calculați $\dfrac{1}{3} * \dfrac{2}{3} * \dfrac{3}{3} * \cdots * \dfrac{2020}{3}$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = 4x - \ln(x^2 + 1)

a.Arătați că $f'(x) = \dfrac{2(2x^2 - x + 2)}{x^2 + 1}$ , $x \in \mathbb{R}$ .
b.Calculați $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\bigl(f(x+1) - f(x)\bigr)$ .
c.Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

Se consideră funcția

f : (-5, 5) \to \mathbb{R}

f(x) = \sqrt{25 - x^2}

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f^2(x)\,dx = \dfrac{74}{3}$ .
b.Calculați $\displaystyle\int_{-3}^{3} \lvert x\,f(x)\rvert\,dx$ .
c.Pentru fiecare număr natural nenul $n$ , se consideră numărul $I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{f^n(x)}\,dx$ . Demonstrați că șirul $(I_n)_{n \ge 1}$ este monoton.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.