Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 4

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 4. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că suma pătratelor elementelor mulțimii $M = \{n \in \mathbb{N} \mid n-1 < 2\}$ este egală cu $5$ .
2.Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2 - mx + 5$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ , știind că vârful parabolei asociate funcției $f$ are abscisa egală cu $3$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+2} = \sqrt{8-x}$ .
4.Determinați numărul submulțimilor cu $10$ elemente ale unei mulțimi cu $12$ elemente.
5.În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(5,1)$ , $B(-1,3)$ și $C(8,10)$ . Determinați ecuația dreptei paralele cu dreapta $AC$ și care trece prin mijlocul segmentului $CD$ , unde punctul $D$ este mijlocul segmentului $AB$ .
6.Calculați $S = \cos \pi + \cos 2\pi + \cos 3\pi + \ldots + \cos 2020\pi$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

și

A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & -x \\ 1 & 0 & 1 \\ -x & 1 & x \end{pmatrix}

, unde

x

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(1)) = -4$ .
b.Demonstrați că $\det(A(x)A(y) - A(2xy)) = 0$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
c.Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(1)A\!\left(\dfrac{1}{2}\right) + A(2)A\!\left(\dfrac{1}{4}\right) + \ldots + A(1010)A\!\left(\dfrac{1}{2020}\right) = nI_3$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

x * y = \left(\sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{y}\right)^5

a.Arătați că $2^5 * 3^5 = 5^5$ .
b.Determinați numărul real $x$ , știind că $2^5 * x^5 * (243x^5) = 100000$ .
c.Se consideră numerele $M = 1^5 * 2^5 * \ldots * 10^5$ și $N = 5^5 \cdot 11^5$ . Demonstrați că $M - N = 0$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}

f(x) = \dfrac{x-1}{x+1} + \ln(x+1) - \ln x

a.Arătați că $f'(x) = \dfrac{x-1}{x(x+1)^2}$ , $x \in (0,+\infty)$ .
b.Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .
c.Demonstrați că graficul funcției $f$ nu intersectează axa $Ox$ .

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = \sqrt{x^2+1}

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f^2(x)\,dx = \dfrac{4}{3}$ .
b.Calculați $\displaystyle\int_{-1}^{1} |x f(x)|\,dx$ .
c.Calculați $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\displaystyle\int_0^x t \cdot f(t)\,dt}{x^2}$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.