Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 6

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 6. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Determinați partea reală a numărului complex $z = \left(1+i\sqrt{3}\right)^2 - \left(1-i\sqrt{3}\right)^2$ .
2.Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = 5-2x$ . Arătați că $f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)\cdot f(5) < 0$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2 x + \dfrac{1}{\log_2 x} = 2$ .
4.Se consideră mulțimea $A = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ . Determinați numărul de submulțimi cu $3$ elemente ale lui $A$ , care conțin exact $2$ numere impare.
5.Se consideră triunghiul $ABC$ și punctele $M$ , $N$ și $P$ astfel încât $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BN} = 2\overrightarrow{BC}$ și $\overrightarrow{CP} = 2\overrightarrow{CA}$ . Știind că $O$ este un punct oarecare din plan, arătați că $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ .
6.Știind că $x\in(\pi, 2\pi)$ și $\cos 2x = \dfrac{1}{3}$ , calculați $\sin x$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(a) = \begin{pmatrix} 2 & a & 2 \\ 3 & a & 2 \\ 2 & a & 5 \end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\begin{cases} 2x + ay + 2z = 4 \\ 3x + ay + 2z = 1 \\ 2x + ay + 5z = b \end{cases}

, unde

a

și

b

sunt numere reale.

a.Arătați că $\det(A(1)) = -3$ .
b.Pentru $a = -1$ și $b = -2$ , rezolvați sistemul de ecuații.
c.Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil nedeterminat.

Pe mulțimea

G = (1,+\infty)

se definește legea de compoziție asociativă

x * y = \sqrt{x^2 y^2 - x^2 - y^2 + 2}

a.Arătați că $x * y = \sqrt{(x^2-1)(y^2-1)+1}$ , pentru orice $x, y \in G$ .
b.Determinați elementul neutru al legii de compoziție „ $*$ ”.
c.Știind că $(G,*)$ este grup, demonstrați că funcția $f: M \to G$ , $f(x) = \sqrt{x+1}$ este un izomorfism de la grupul $(M, \cdot)$ la grupul $(G,*)$ , unde $M = (0,+\infty)$ și „ $\cdot$ ” reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x) = (x+1)e^{-x}

a.Arătați că $f'(x) = -xe^{-x}$ , pentru orice $x\in\mathbb{R}$ .
b.Calculați $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{\left(f(n)\right)^n}{e^n \left(f(n+1)\right)^n}$ .
c.Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $m$ pentru care ecuația $f(x) = m$ are două soluții reale distincte.

Se consideră funcția

f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x) = x + \dfrac{2}{x+1}

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^1 \bigl(f(x)-x\bigr)\,dx = 2\ln 2$ .
b.Calculați $\displaystyle\int_1^e \left(f(x) - \dfrac{2}{x+1}\right) \ln x\, dx$ .
c.Determinați $a \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle\int_0^1 2f(x)F(x)\,dx = \dfrac{1}{4} + \ln 4 + \ln^2 a$ , unde $F$ este primitiva funcției $f$ pentru care $F(0) = 0$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.