Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 7

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 7. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Determinați partea întreagă a numărului real $x = \left(\sqrt{2}-1\right)^2$ .
2.Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2-2x$ . Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu dreapta de ecuație $y=2x-3$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^{x-2} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{7-2x}$ .
4.Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ .
5.În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$ , $B(2,5)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ .
6.Calculați perimetrul triunghiului $ABC$ , știind că $AB=2$ , $AC=3$ și $m(\angle BAC)=60^\circ$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

O_3 = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

A(a)=\begin{pmatrix}1&0&3\\0&1&a\\1&-a&0\end{pmatrix}

și

\left(A(a)\right)^t=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-a\\3&a&0\end{pmatrix}

, unde

a

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(2))=1$ .
b.Demonstrați că, pentru orice număr rațional $q$ , matricea $A(q)$ este inversabilă.
c.Se consideră matricea $B(a)=A(a)-\left(A(a)\right)^t$ . Determinați numerele raționale $p$ pentru care $B(p)B(p)B(p)+5B(p)=O_3$ .

Pe mulțimea

G=(0,1)

se definește legea de compoziție asociativă

x * y = \dfrac{xy}{2xy - x - y + 1}

a.Arătați că $\dfrac{1}{3} * \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{5}$ .
b.Verificați dacă $e = \dfrac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $*$ ”.
c.Știind că $(G,*)$ este grup, demonstrați că funcția $f:G\to M$ , $f(x)=\dfrac{1}{x}-1$ este un izomorfism de la grupul $(G,*)$ la grupul $(M,\cdot)$ , unde $M=(0,+\infty)$ și „ $\cdot$ ” reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=x\ln x

a.Arătați că $f'(x) = 1 + \ln x$ , $x \in (0,+\infty)$ .
b.Determinați $m \in (0,+\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $M(m, f(m))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y=2x$ .
c.Demonstrați că $x\ln x + \dfrac{1}{e} \geq 0$ , pentru orice $x \in (0,+\infty)$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=\cos x

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin x \cdot f(x)\,dx = \dfrac{1}{2}$ .
b.Calculați $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt$ .
c.Pentru fiecare număr natural nenul $n$ , se consideră numărul $I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\left(f(x)\right)^n dx$ . Demonstrați că șirul $(I_n)_{n\geq 1}$ este convergent.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.