Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 9

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 9. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^5}+\dfrac{1}{2^6}+\dfrac{1}{2^7}+\dfrac{1}{2^8}<2$ .
2.Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=-x^2-4x+5$ . Determinați produsul absciselor punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^x+3^{x-2}+3^{x+2}=91$ .
4.Determinați termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea $\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{x}\right)^9$ , unde $x\in(0,+\infty)$ .
5.În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,1)$ , $B(1,3)$ și $C(3,2)$ . Determinați ecuația dreptei $OG$ , știind că $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ .
6.Calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ , știind că $AB=2$ și $\cos C=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(a)=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\ a & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2\end{pmatrix}

, unde

a

este număr întreg.

a.Arătați că $\det(A(1))=7$ .
b.Demonstrați că rangul matricei $A(a)$ este egal cu $3$ , pentru orice număr întreg $a$ .
c.Determinați numărul întreg $m$ pentru care inversa matricei $A(m)$ are toate elementele numere întregi.

Pe mulțimea

M=(0,+\infty)

se definește legea de compoziție asociativă

x\circ y=\dfrac{xy}{x+y}

a.Arătați că $2\circ2=1$ .
b.Demonstrați că $x\circ y\circ z=\left(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}\right)^{-1}$ , pentru orice $x,y,z\in M$ .
c.Demonstrați că $\dfrac{1}{2}\circ\dfrac{1}{3}\circ\dfrac{1}{4}\circ\cdots\circ\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{54}$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(1,+\infty)\to(0,+\infty)

f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)

a.Arătați că $f'(x)=-\dfrac{2}{x^2-1}$ , $x\in(1,+\infty)$ .
b.Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.
c.Calculați $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot f(x)\right)$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=x^2-3x+2

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=\dfrac{5}{6}$ .
b.Arătați că $\displaystyle\int_1^e\dfrac{f(x)}{x}\ln x\,dx=\dfrac{e^2-7}{4}$ .
c.Determinați numerele reale $a$ , $a>1$ pentru care $\displaystyle\int_1^a f(x)e^x\,dx=e^a-3e$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.