Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 11

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 11. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că $\sqrt{7}(\sqrt{6}+1)-\sqrt{6}(\sqrt{7}+1)=\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$ .
2.Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2+x+1$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $g(x)=2x+2$ . Demonstrați că $f(x+1)-f(x)=g(x)$ , pentru orice număr real $x$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-2x-1}$ .
4.Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,4,5\}$ . Determinați numărul de submulțimi ale lui $M$ care au cel puțin trei elemente.
5.În reperul cartezian $xOy$ se consideră trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ și $A(1,2)$ , $B(4,5)$ și $D(-3,2)$ . Determinați ecuația dreptei $MN$ , știind că segmentul $MN$ este linia mijlocie a trapezului $ABCD$ .
6.Calculați $\sin 2x$ , știind că $(2\sin x+\cos x)^2=2+3\sin^2 x$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & 2 \\ a & i & a \\ -1 & a & -1\end{pmatrix}

, unde

i^2=-1

și

a

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(0))=i$ .
b.Demonstrați că, pentru orice număr real $a$ , matricea $A(a)$ este inversabilă.
c.Calculați $\underbrace{A(0)\cdot A(0)\cdot A(0)\cdots A(0)}_{\text{de 2020 ori}}$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x*y=3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+12

a.Arătați că $x*1=3$ , pentru orice număr real $x$ .
b.Determinați numărul real $x$ pentru care $0*x=-9$ .
c.Demonstrați că, dacă $x*y=3$ , atunci $(x-1)(y-1)=0$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=x^2-\ln(x^2+1)

a.Arătați că $f'(x)=\dfrac{2x^3}{x^2+1}$ , $x\in\mathbb{R}$ .
b.Demonstrați că axa $Ox$ este tangentă graficului funcției $f$ .
c.Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $n$ , ecuația $f(x)=n$ are două soluții reale distincte.

Se consideră funcția

f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=\dfrac{e^x}{x}

a.Arătați că $\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x)}{e^x}\,dx=1$ .
b.Arătați că $\displaystyle\int_1^2 x^3 f(x^2)\,dx=\dfrac{e(e-1)(e^2+e+1)}{2}$ .
c.Demonstrați că $\displaystyle\int_1^e f(x)\,dx+\int_1^e e^x\ln x\,dx=e^e$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.