Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 12

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 12. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că numărul $N = \left(\sqrt{5}+\sqrt{13}\right)^2 + \left(\sqrt{5}-\sqrt{13}\right)^2$ este pătratul unui număr natural.
2.Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x+a$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că $(f\circ f)(1)+f(1)=1$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x + 4^{1-x} = 4$ .
4.Determinați numărul numerelor naturale de trei cifre distincte care se pot forma cu elementele mulțimii $A = \{0, 5, 7\}$ .
5.Se consideră punctul $G$ , centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și punctul $M$ , mijlocul segmentului $AG$ . Demonstrați că $6\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ .
6.Calculați măsura unghiului $A$ al triunghiului ascuțitunghic $ABC$ , știind că $4\mathcal{A}_{\triangle ABC} = AB \cdot AC$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(a) = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ a+4 & a+3 & a \end{pmatrix}

, unde

a

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(0)) = -15$ .
b.Determinați numărul real $a$ pentru care rangul matricei $A(a)$ nu este egal cu $3$ .
c.Demonstrați că matricea $M = A(-1) \cdot A(-1) \cdot A(-1) \cdot A(-1)$ are toate elementele numere întregi, divizibile cu $25$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

x * y = \sqrt[3]{x^3 + y^3 + 2020}

a.Arătați că $x*(-x) = \sqrt[3]{2020}$ , pentru orice număr real $x$ .
b.Determinați numerele reale $x$ pentru care $(x+1)*(-x) = \sqrt[3]{2021}$ .
c.Demonstrați că, pentru orice număr real $a$ , există un unic număr real $x$ pentru care $x*x*x = a$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5

a.Arătați că $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$ , $x \in \mathbb{R}$ .
b.Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$ .
c.Demonstrați că funcția $f$ este concavă pe $(-\infty, 2)$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x) = \dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x+5}}

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f(x)\cdot\sqrt{x^2+3x+5}\,dx = 4$ .
b.Calculați $\displaystyle\int_{-4}^{1} f(x)\,dx$ .
c.Arătați că $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\cdot f(\sin x)\,dx = 6 - 2\sqrt{5}$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.