pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 14

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 14. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

  1. 1.Arătați că numerele log⁡35\log_3 5, 2\sqrt{2} și log⁡59\log_5 9 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
  2. 2.Se consideră o funcție f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}. Demonstrați că funcția g:R→Rg:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−f(−x)g(x)=f(x)-f(-x) este impară.
  3. 3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+312−x=1+33^x + 3^{\frac{1}{2}-x} = 1+\sqrt{3}.
  4. 4.Determinați termenul care îl conține pe x10x^{10} din dezvoltarea (x3+1x3)20\left(x^3+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{20}, unde x∈R∗x\in\mathbb{R}^*.
  5. 5.În planul triunghiului ABCABC se consideră punctul GG, astfel încât 3AG→=AB→+AC→3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}. Demonstrați că GG este centrul de greutate al triunghiului ABCABC.
  6. 6.Determinați x∈(0,π)x\in(0,\pi), știind că sin⁡2x−3sin⁡x−2cos⁡x+3=0\sin 2x - 3\sin x - 2\cos x + 3 = 0.

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele A=(3−1−1−110−101)A=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix} și M(m)=(1111m111m)M(m)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{pmatrix}, unde mm este număr real.
  1. a.Arătați că det⁡A=1\det A = 1.
  2. b.Demonstrați că, pentru orice număr real mm, rangul matricei M(m)M(m) este diferit de 22.
  3. c.Determinați numărul real mm, m≠1m\neq 1, știind că inversa matricei M(m)M(m) este matricea AA.
Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție z1∘z2=z1+z2+z1z2z_1 \circ z_2 = z_1 + z_2 + z_1 z_2.
  1. a.Arătați că (1+i)∘(2−i)=6+i(1+i)\circ(2-i) = 6+i.
  2. b.Demonstrați că numărul z∘zˉz\circ\bar{z} este număr real, pentru orice număr complex zz.
  3. c.Determinați numerele complexe zz pentru care z∘z=−2z\circ z = -2.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x2−x+1x2+x+1f(x)=\ln\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}.
  1. a.Arătați că f′(x)=2(x−1)(x+1)(x2+x+1)(x2−x+1)f'(x)=\dfrac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}, x∈Rx\in\mathbb{R}.
  2. b.Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞-\infty la graficul funcției ff.
  3. c.Calculați lim⁡n→+∞(f(1)+f(2)+⋯+f(n)+2ln⁡n)\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\bigl(f(1)+f(2)+\cdots+f(n)+2\ln n\bigr).
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1exf(x)=\dfrac{x^2+1}{e^x}.
  1. a.Arătați că ∫01exf(x) dx=43\displaystyle\int_0^1 e^x f(x)\,dx = \dfrac{4}{3}.
  2. b.Calculați ∫01f(−x) dx\displaystyle\int_0^1 f(-x)\,dx.
  3. c.Determinați numerele reale aa și bb, știind că funcția F:R→RF:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=e−x(−x2+ax+b)F(x)=e^{-x}(-x^2+ax+b) este o primitivă a funcției ff.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-aDerivateclasa a XI-aIntegrala definităclasa a XII-aLogaritmiclasa a XI-aDeterminanțiclasa a XI-aLimite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.