Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 15

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 15. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Determinați numărul complex $z$ , pentru care $z = 3\overline{z}$ .
2.Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = 2x + a$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că numerele $f(0)$ , $f(2)$ și $f(1)$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(-x) = \log_3(x^2 - 2x - 2)$ .
4.Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ , pătratul acestui număr să aparțină mulțimii $A$ .
5.Se consideră punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ , astfel încât $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$ . Demonstrați că $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}$ .
6.Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$ cu $BC = R$ , unde $R$ este raza cercului circumscris triunghiului. Calculați măsura unghiului $A$ al triunghiului $ABC$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

și

A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

, unde

a

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(a)) = 1$ , pentru orice număr real $a$ .
b.Se consideră matricea $B(a) = A(a) - I_3$ , unde $a$ este număr real. Demonstrați că, pentru orice număr real $a$ , $B(a) \cdot B(a) \cdot B(a) = O_3$ .
c.Determinați numărul natural nenul $n$ , știind că suma elementelor matricei $X$ pentru care $A(2) \cdot X = A(1) + A(2) + \ldots + A(n)$ este egală cu $21$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x * y = x^2 + 4xy + y^2

a.Arătați că $1 * 2 = 13$ .
b.Determinați numerele reale $x$ pentru care $(x * x) * x^2 = 61$ .
c.Demonstrați că există o infinitate de numere iraționale $a$ pentru care numărul $a * 1$ este natural.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x) = \dfrac{x - 3}{\sqrt{x^2 + 3}}

a.Arătați că $f'(x) = \dfrac{3(x+1)}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}$ , $x \in \mathbb{R}$ .
b.Calculați $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x))^x$ .
c.Demonstrați că $x^5 + 2\sqrt{x^{10}+3} \geq 3$ , pentru orice număr real $x$ .

Se consideră funcția

f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x) = x^2 + \ln x

a.Arătați că $\displaystyle\int_1^3 (f(x) - \ln x)\,dx = \dfrac{26}{3}$ .
b.Calculați $\displaystyle\int_1^2 (f(x) - x^2)\,dx$ .
c.Arătați că $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x}f\!\left(\dfrac{1}{x}\right)dx = \dfrac{3 - 4\ln^2 2}{8}$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.