Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 16

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 16. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Determinați numărul de elemente ale mulțimii $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -\sqrt{5} < x < \sqrt{7}\}$ .
2.Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2-2x+a$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $g(x)=-x^2+2bx+1$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că parabolele asociate celor două funcții au același vârf.
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{1-x}=2$ .
4.Arătați că nu există nicio mulțime finită care să aibă exact 12 submulțimi cu 2 elemente.
5.În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,4)$ , $B(-4,3)$ și $C(5,0)$ . Arătați că punctul $H(4,7)$ este ortocentrul triunghiului $ABC$ .
6.Calculați $\cos x$ , știind că $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ și $2\left(\cos^4 x - \sin^4 x\right)=-1$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

A=\begin{pmatrix}3&2&1\\6&4&2\\9&6&3\end{pmatrix}

I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

și

B=I_3+A

a.Arătați că $\det A=0$ .
b.Arătați că matricea $I_3-\dfrac{1}{11}A$ este inversa matricei $B$ .
c.Dați exemplu de trei matrice $U,V,T\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ , de rang 1, astfel încât $U+V+T=B$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x*y=xy-3x-3y+a

, unde

a

este număr real.

a.Determinați numărul real $a$ pentru care $(-1)*1=0$ .
b.Determinați numărul real $a$ pentru care legea de compoziție $*$ admite element neutru.
c.Demonstrați că, dacă $a\in[12,+\infty)$ , atunci mulțimea $[3,+\infty)$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea de compoziție $*$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(0,+\infty)\to(0,1)

f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}

a.Arătați că $f'(x)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)$ , pentru orice $x\in(0,+\infty)$ .
b.Calculați $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{2}+f'(1)+f'(2)+\cdots+f'(n)\right)^{\sqrt{n}}$ .
c.Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=\dfrac{x^2}{x^4+1}

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^1\left(x^4+1\right)f(x)\,dx=\dfrac{1}{3}$ .
b.Demonstrați că $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx\le\dfrac{\pi}{8}$ .
c.Se consideră primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F(1)=0$ . Calculați $\displaystyle\int_0^1 F(x)\,dx$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.