Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 17

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 17. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că, dacă $z^2 + z + 2 = 0$ , unde $z$ este număr complex, atunci $z^2 + \dfrac{4}{z^2} = -3$ .
2.Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x) = \{2x\}$ , unde $\{x\}$ reprezintă partea fracționară a lui $x$ . Arătați că $f\!\left(x+\dfrac{1}{2}\right) = f(x)$ , pentru orice număr real $x$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x+1} - 3^x = 2^{x+2} - 2^{x+1}$ .
4.Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $a$ din mulțimea $A = \{\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},\ldots,\sqrt{25}\}$ , numerele $3$ , $4$ și $a$ să reprezinte lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.
5.Se consideră paralelogramul $ABCD$ și punctele $M$ și $N$ astfel încât $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ . Demonstrați că punctele $D$ , $M$ și $N$ sunt coliniare.
6.Arătați că, dacă $ABC$ este un triunghi oarecare, atunci $\cos A < \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{AB}{AC} + \dfrac{AC}{AB}\right)$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\begin{cases} x + 2y + z = 0 \\ 2x + my + z = 0 \\ x - 3y + 2z = 0 \end{cases}

, unde

m

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(m)) = m - 9$ , pentru orice număr real $m$ .
b.Determinați numărul real $m$ pentru care sistemul de ecuații admite soluții diferite de $(0,0,0)$ .
c.Pentru $m = 9$ , se consideră $(x_0, y_0, z_0)$ o soluție a sistemului de ecuații, cu $(x_0, y_0, z_0) \neq (0,0,0)$ . Calculați $\dfrac{x_0^2 + y_0^2 - z_0^2}{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2}$ .

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție

x * y = xy + 5x + 5y + 20

a.Arătați că $2 * (-1) = 23$ .
b.Demonstrați că $e = -4$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $*$ ”.
c.Pentru $r \in \{0,1,2\}$ , notăm cu $A_r$ mulțimea numerelor naturale care au restul $r$ la împărțirea cu $3$ . Determinați numerele $r \in \{0,1,2\}$ pentru care $A_r$ este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu legea de compoziție „ $*$ ”.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x) = (x-1)(e^x - e)

a.Arătați că $f'(x) = xe^x - e$ , $x \in (-1,+\infty)$ .
b.Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ , în punctul de abscisă $x = 1$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c.Determinați punctul de extrem al funcției $f$ .

Se consideră funcția

f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x) = \dfrac{\ln(x+2)}{x^2+1}

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f(x)}{\ln(x+2)}\,dx = \dfrac{\pi}{4}$ .
b.Calculați $\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt$ .
c.Arătați că $\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) + \dfrac{\arctan x}{x+2}\right)dx = \dfrac{\pi}{4}\ln 3$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.