Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 18

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 18. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că, dacă $z = 3+i$ , unde $z$ este număr complex, atunci $z^2 - 6z + 10 = 0$ .
2.Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2-4x$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $g(x)=x^2+2x-6$ . Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x+3} = x+1$ .
4.Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor sale să fie un număr prim.
5.În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,2)$ și $B(3,-1)$ . Știind că punctul $M$ este simetricul lui $A$ față de $B$ și punctul $N$ este simetricul lui $B$ față de $M$ , determinați coordonatele punctului $N$ .
6.Arătați că, dacă $x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ și $\sin x + \cos x = \cos 2x$ , atunci $\sin x - \cos x = -1$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

A(x)=\begin{pmatrix} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

și

I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

, unde

x

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(1)) = 2$ .
b.Demonstrați că $A(x)\cdot A(y) = A(x+y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
c.Determinați rangul matricei $B = A(1)\cdot A(2)\cdot A(3) - I_3$ .

Pe mulțimea numerelor raționale se definește legea de compoziție

x \star y = x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 6

a.Arătați că $1 \star 1 = 3$ .
b.Arătați că $x \star y \neq 2$ , pentru orice numere raționale $x$ și $y$ .
c.Determinați perechile $(m,n)$ de numere întregi pentru care $m \star n = 3$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=x^2+2x-2\ln(x+1)

a.Arătați că $f'(x)=\dfrac{2x(x+2)}{x+1}$ , $x\in(-1,+\infty)$ .
b.Determinați numărul real $a\in(-1,+\infty)$ , știind că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a,f(a))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y=3x+2020$ .
c.Demonstrați că $(x+1)^2 \geq 2\ln(x+1)+1$ , pentru orice $x\in(-1,+\infty)$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=\sqrt{x^2+2}

. Pentru fiecare număr natural nenul

n

, se consideră numărul

I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n f(x)\,dx

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^3 f^2(x)\,dx = 15$ .
b.Demonstrați că $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n = 0$ .
c.Arătați că $(n+2)I_n + 2(n-1)I_{n-2} = 3\sqrt{3}$ , pentru orice număr natural $n$ , $n\geq 3$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.