pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 19

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 19. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

  1. 1.Se consideră progresia geometrică (bn)n≥1(b_n)_{n\geq 1} cu b1=2b_1=2 și rația q=5q=\sqrt{5}. Calculați partea întreagă a lui b4b_4.
  2. 2.Se consideră funcția bijectivă f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−3f(x)=2x-3. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor ff și f−1f^{-1}.
  3. 3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2x2+x+1)−log⁡2(x2−x+2)=1\log_2(2x^2+x+1)-\log_2(x^2-x+2)=1.
  4. 4.Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, suma cifrelor sale să fie divizibilă cu 11.
  5. 5.Se consideră vectorii u⃗=i⃗+j⃗\vec{u}=\vec{i}+\vec{j} și v⃗=ai⃗−2j⃗\vec{v}=a\vec{i}-2\vec{j}, unde aa este număr real. Determinați numărul real aa pentru care ∣u⃗+v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2|\vec{u}+\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2.
  6. 6.Arătați că, dacă x∈(0,π2)x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) astfel încât sin⁡x+cos⁡x=2cos⁡x\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos x, atunci x=π8x=\dfrac{\pi}{8}.

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea A(m)=(m112m+1111m+1)A(m)=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 2 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {mx+y+z=12x+(m+1)y+z=2x+y+(m+1)z=m+1\begin{cases} mx+y+z=1 \\ 2x+(m+1)y+z=2 \\ x+y+(m+1)z=m+1 \end{cases}, unde mm este număr real.
  1. a.Arătați că det⁡(A(0))=0\det(A(0))=0.
  2. b.Demonstrați că, pentru m=−3m=-3, sistemul de ecuații nu are soluții.
  3. c.Demonstrați că, pentru orice număr real mm, sistemul de ecuații are cel mult o soluție.
Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție z1∘z2=z1+z2−12zˉ1−12zˉ2z_1\circ z_2=z_1+z_2-\dfrac{1}{2}\bar{z}_1-\dfrac{1}{2}\bar{z}_2, unde zˉ\bar{z} este conjugatul lui zz.
  1. a.Arătați că (1+i)∘(1−i)=1(1+i)\circ(1-i)=1.
  2. b.Se consideră H={2+bi∣b∈R}H=\{2+bi\mid b\in\mathbb{R}\}. Arătați că HH este parte stabilă a lui C\mathbb{C} în raport cu legea de compoziție ∘\circ.
  3. c.Se consideră numărul complex z0z_0. Arătați că există o infinitate de numere complexe zz cu proprietatea că numărul z0∘zz_0\circ z este real.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+23f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x+2}.
  1. a.Arătați că f′(x)=(x−1)(x+1)(x3−3x+2)23f'(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{\sqrt[3]{(x^3-3x+2)^2}}, x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty).
  2. b.Calculați lim⁡x→1f(x)x−1\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}.
  3. c.Arătați că, pentru orice a∈(0,+∞)a\in(0,+\infty), ecuația f(x)=af(x)=a are soluție unică.
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+2)e−xf(x)=(x^2+2)e^{-x}.
  1. a.Arătați că ∫14exf(x) dx=27\displaystyle\int_1^4 e^x f(x)\,dx=27.
  2. b.Calculați ∫1ef(ln⁡x) dx\displaystyle\int_1^e f(\ln x)\,dx.
  3. c.Arătați că lim⁡x→01x∫0xf(t) dt=2\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt=2.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-aDerivateclasa a XI-aIntegrala definităclasa a XII-aLogaritmiclasa a XI-aDeterminanțiclasa a XI-aLimite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.